次の問題を解いて、空欄を埋めてください。 (1) $6x^2 - 5x - 21$ を因数分解する。 (2) $(a + 2b - 3)(a - 2b + 3)$ を展開し、整理する。 (3) $|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3|$ を計算する。 (4) 連立不等式 $\begin{cases} \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \\ \frac{4x+3}{2} \le 4x - 1 \end{cases}$ を解く。 (5) $a+b = 2\sqrt{5}, ab = -7$ のとき、$a^2 + b^2 - 3ab$ を求める。

代数学因数分解展開絶対値連立不等式式の計算
2025/7/8

1. 問題の内容

次の問題を解いて、空欄を埋めてください。
(1) 6x25x216x^2 - 5x - 21 を因数分解する。
(2) (a+2b3)(a2b+3)(a + 2b - 3)(a - 2b + 3) を展開し、整理する。
(3) 72+73|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3| を計算する。
(4) 連立不等式 {56x13<x3+124x+324x1\begin{cases} \frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{x}{3} + \frac{1}{2} \\ \frac{4x+3}{2} \le 4x - 1 \end{cases} を解く。
(5) a+b=25,ab=7a+b = 2\sqrt{5}, ab = -7 のとき、a2+b23aba^2 + b^2 - 3ab を求める。

2. 解き方の手順

(1) 6x25x216x^2 - 5x - 21 を因数分解します。
6x25x21=(2x+3)(3x7)6x^2 - 5x - 21 = (2x+3)(3x-7)
(2) (a+2b3)(a2b+3)(a + 2b - 3)(a - 2b + 3) を展開し整理します。
(a+2b3)(a2b+3)=(a+(2b3))(a(2b3))=a2(2b3)2=a2(4b212b+9)=a24b2+12b9(a + 2b - 3)(a - 2b + 3) = (a + (2b - 3))(a - (2b - 3)) = a^2 - (2b - 3)^2 = a^2 - (4b^2 - 12b + 9) = a^2 - 4b^2 + 12b - 9
(3) 72+73|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3| を計算します。72.646\sqrt{7} \approx 2.646 なので、72>0\sqrt{7} - 2 > 0 かつ 73<0\sqrt{7} - 3 < 0 です。
72+73=(72)(73)=727+3=1|\sqrt{7} - 2| + |\sqrt{7} - 3| = (\sqrt{7} - 2) - (\sqrt{7} - 3) = \sqrt{7} - 2 - \sqrt{7} + 3 = 1
(4) 連立不等式を解きます。
まず、56x13<x3+12\frac{5}{6}x - \frac{1}{3} < \frac{x}{3} + \frac{1}{2} を解きます。
5x2<2x+35x - 2 < 2x + 3
3x<53x < 5
x<53x < \frac{5}{3}
次に、4x+324x1\frac{4x+3}{2} \le 4x - 1 を解きます。
4x+38x24x + 3 \le 8x - 2
4x5-4x \le -5
x54x \ge \frac{5}{4}
よって、54x<53\frac{5}{4} \le x < \frac{5}{3}
(5) a2+b23aba^2 + b^2 - 3ab を求めます。
(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 より a2+b2=(a+b)22aba^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab
a2+b23ab=(a+b)22ab3ab=(a+b)25aba^2 + b^2 - 3ab = (a+b)^2 - 2ab - 3ab = (a+b)^2 - 5ab
a+b=25,ab=7a+b = 2\sqrt{5}, ab = -7 なので、
a2+b23ab=(25)25(7)=45+35=20+35=55a^2 + b^2 - 3ab = (2\sqrt{5})^2 - 5(-7) = 4 \cdot 5 + 35 = 20 + 35 = 55

3. 最終的な答え

(1) (2x+3)(3x7)(2x+3)(3x-7)
(2) a24b2+12b9a^2 - 4b^2 + 12b - 9
(3) 11
(4) 54x<53\frac{5}{4} \le x < \frac{5}{3}
(5) 5555