2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a$, $b$ ($a < b$) とするとき、以下の問題を解く。 (1) $a$, $b$ の値をそれぞれ求めよ。 (2) $a^2 + b^2$, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。 (3) 不等式 $|x - \frac{a+b}{2}| \le \frac{|b-a|}{2}$ (1) を解け。また、不等式 (1) と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ の2つの解を $a$, $b$ ($a < b$) とするとき、以下の問題を解く。

(1) $a$, $b$ の値をそれぞれ求めよ。

(2) $a^2 + b^2$, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ の値をそれぞれ求めよ。

(3) 不等式 $|x - \frac{a+b}{2}| \le \frac{|b-a|}{2}$ (1) を解け。また、不等式 (1) と $k \le x \le k+3$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個存在するような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - 4x - 2 = 0$ を解の公式を用いて解く。

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$

$a < b$ より $a = 2 - \sqrt{6}$, $b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = (2 - \sqrt{6})^2 + (2 + \sqrt{6})^2 = (4 - 4\sqrt{6} + 6) + (4 + 4\sqrt{6} + 6) = 10 - 4\sqrt{6} + 10 + 4\sqrt{6} = 20$

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{20}{(2 - \sqrt{6})(2 + \sqrt{6})} = \frac{20}{4 - 6} = \frac{20}{-2} = -10$

(3) 不等式 $|x - \frac{a+b}{2}| \le \frac{|b-a|}{2}$ を解く。

$a+b = (2 - \sqrt{6}) + (2 + \sqrt{6}) = 4$

$b-a = (2 + \sqrt{6}) - (2 - \sqrt{6}) = 2\sqrt{6}$

よって不等式は $|x - \frac{4}{2}| \le \frac{2\sqrt{6}}{2}$

$|x - 2| \le \sqrt{6}$

$-\sqrt{6} \le x - 2 \le \sqrt{6}$

$2 - \sqrt{6} \le x \le 2 + \sqrt{6}$

$\sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{9}$ より $2 < \sqrt{6} < 3$. 従って $2 - 3 < 2 - \sqrt{6} < 2 - 2$ 即ち $-1 < 2 - \sqrt{6} < 0$.

また $2 + 2 < 2 + \sqrt{6} < 2 + 3$ 即ち $4 < 2 + \sqrt{6} < 5$.

不等式 $k \le x \le k+3$ と $2 - \sqrt{6} \le x \le 2 + \sqrt{6}$ をともに満たす整数 $x$ がちょうど2個となるような $k$ の範囲を求める。

$2 - \sqrt{6} \approx 2 - 2.45 = -0.45$

$2 + \sqrt{6} \approx 2 + 2.45 = 4.45$

したがって、不等式 $2 - \sqrt{6} \le x \le 2 + \sqrt{6}$ を満たす整数は $0, 1, 2, 3, 4$ の5個である。

$k \le x \le k+3$ の区間の幅は3である。

この区間の中に整数が2個だけ入るようにするためには、次の条件を満たす必要がある。

$2 - \sqrt{6} \le k$ かつ $k+3 \le 2 + \sqrt{6}$ かつ $k < 3$ かつ $k > 0$, または

$2 - \sqrt{6} \le k$ かつ $k+3 \le 2 + \sqrt{6}$ かつ $k < 2$ かつ $k > -1$

区間 $[k, k+3]$ に $\{0, 1\}$ が含まれるとき、$k \le 0$ かつ $1 \le k+3$

区間 $[k, k+3]$ に $\{3, 4\}$ が含まれるとき、$k \le 3$ かつ $4 \le k+3$

$1 \le k+3$ より $k \ge -2$

$4 \le k+3$ より $k \ge 1$

$k+3 < 2 + \sqrt{6} \iff k < \sqrt{6} - 1 \approx 2.45 - 1 = 1.45$

$k > 2 - \sqrt{6} - 1 = 1 - \sqrt{6} \approx 1 - 2.45 = -1.45$

$x=0, 1$ のとき、$k \le 0$ かつ $1 \le k+3$, つまり $k \le 0$ かつ $k \ge -2$ であり、$k+3 > 2, 3$,つまり $-2 \le k \le 0$.

$k < 2-\sqrt{6}+2$, $k > 2-\sqrt{6}-1$,

$x=3, 4$ のとき、$k \le 3$ かつ $4 \le k+3$, つまり $k \le 3$ かつ $k \ge 1$ であり、$k+3 < 4, 5$,つまり $1 \le k \le 3$.

$k+3 > x, k+3 < x$のとき。

整数解が2個だけになるのは、 $k \le 1$ かつ $k+3 \ge 4$, つまり $1 \le k \le 1.45$, または $k \le -1$ かつ $k+3 \ge 0$, つまり $-2 \le k \le -1.45$である。

したがって、$1 \le k < \sqrt{6}-1$ または $1-\sqrt{6} < k \le -1$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2 - \sqrt{6}$, $b = 2 + \sqrt{6}$

(2) $a^2 + b^2 = 20$, $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = -10$

(3) $1 \le k < \sqrt{6} - 1$ または $1 - \sqrt{6} < k \le -1$