実数 $p$ に対して、方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x + 4 - p = 0$ が異なる正の解を2個、負の解を1個持つような $p$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $p$ に対して、方程式 $2x^3 - 3x^2 - 12x + 4 - p = 0$ が異なる正の解を2個、負の解を1個持つような $p$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

方程式を変形して、$p = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$ とする。$f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4$ とおき、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = p$ の交点の $x$ 座標が、正の解2個、負の解1個となるように、$p$ の範囲を求める。

まず、$f(x)$ の導関数を求める。

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 2$ または $x = -1$ のときである。

増減表を作成すると以下のようになる。

| x | ... | -1 | ... | 2 | ... |

|------|------|------|------|------|------|

| f'(x)| + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | 極大 | ↓ | 極小 | ↑ |

$x = -1$ のとき、$f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 4 = -2 - 3 + 12 + 4 = 11$

$x = 2$ のとき、$f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 4 = 16 - 12 - 24 + 4 = -16$

$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = p$ が、正の $x$ 座標で2回、負の $x$ 座標で1回交わるためには、極小値 < $p$ < $f(0)$ が必要である。

$f(0) = 4$ であるから、$-16 < p < 4$。

3. 最終的な答え

$-16 < p < 4$