$\log_{\frac{1}{9}} \sqrt{27}$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\log_{\frac{1}{9}} \sqrt{27}$ を底の変換公式を用いて簡単にせよ。

2. 解き方の手順

底の変換公式を使うために、まず$\frac{1}{9}$と$\sqrt{27}$を3の累乗で表す。

$\frac{1}{9} = 3^{-2}$

$\sqrt{27} = (3^3)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$

次に底の変換公式を用いて、底を3に変換する。

$\log_{\frac{1}{9}} \sqrt{27} = \frac{\log_3 \sqrt{27}}{\log_3 \frac{1}{9}}$

それぞれの対数を計算する。

$\log_3 \sqrt{27} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

$\log_3 \frac{1}{9} = \log_3 3^{-2} = -2$

$\log_{\frac{1}{9}} \sqrt{27} = \frac{\frac{3}{2}}{-2} = \frac{3}{2} \times (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{4}$