(1) 頂点が $(3, -1)$ で、点 $(1, 7)$ を通る放物線の方程式を求める。 (2) 不等式 $|2x - 3| < 5$ を解く。 (3) 2つの集合 $A = \{3, 6, 9\}$、$B = \{1, 3, 5, 7, 9, a\}$ において、$A \cap B = A$ が成り立つような $a$ の値を求める。 (4) $24 + 2\sqrt{35}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$2\sqrt{a} - b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 頂点が $(3, -1)$ で、点 $(1, 7)$ を通る放物線の方程式を求める。

(2) 不等式 $|2x - 3| < 5$ を解く。

(3) 2つの集合 $A = \{3, 6, 9\}$、$B = \{1, 3, 5, 7, 9, a\}$ において、$A \cap B = A$ が成り立つような $a$ の値を求める。

(4) $24 + 2\sqrt{35}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$2\sqrt{a} - b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が $(3, -1)$ なので、放物線の方程式は $y = p(x - 3)^2 - 1$ と表せる。

この放物線が点 $(1, 7)$ を通るので、$x = 1, y = 7$ を代入して $p$ を求める。

$7 = p(1 - 3)^2 - 1$

$7 = 4p - 1$

$8 = 4p$

$p = 2$

よって、放物線の方程式は $y = 2(x - 3)^2 - 1 = 2(x^2 - 6x + 9) - 1 = 2x^2 - 12x + 18 - 1 = 2x^2 - 12x + 17$

(2) $|2x - 3| < 5$ を解く。

$-5 < 2x - 3 < 5$

$-5 + 3 < 2x < 5 + 3$

$-2 < 2x < 8$

$-1 < x < 4$

(3) $A = \{3, 6, 9\}$、$B = \{1, 3, 5, 7, 9, a\}$ において、$A \cap B = A$ が成り立つとき、$A \subset B$ である。

$A = \{3, 6, 9\} \subset B = \{1, 3, 5, 7, 9, a\}$ であるためには、$6 \in B$ でなければならない。

したがって、$a = 6$ である。

(4) $24 + 2\sqrt{35}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とする。

$\sqrt{35}$ は $\sqrt{36} = 6$ より少し小さい。

$5 < \sqrt{35} < 6$ であるから、

$10 < 2\sqrt{35} < 12$

$34 < 24 + 2\sqrt{35} < 36$

したがって、$a = 35$ である。

また、$b = (24 + 2\sqrt{35}) - a = (24 + 2\sqrt{35}) - 35 = 2\sqrt{35} - 11$

$2\sqrt{a} - b = 2\sqrt{35} - (2\sqrt{35} - 11) = 2\sqrt{35} - 2\sqrt{35} + 11 = 11$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 12x + 17$

(2) $-1 < x < 4$

(3) $a = 6$

(4) $11$