関数 $f(x) = \frac{2x+a}{x+3}$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+a}{x+3}$ の逆関数が $f^{-1}(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

逆関数の性質を利用します。 $f(f^{-1}(x)) = x$ であることを利用します。

$f(f^{-1}(x)) = f\left(\frac{3x+4}{bx+2}\right) = \frac{2\left(\frac{3x+4}{bx+2}\right) + a}{\frac{3x+4}{bx+2} + 3} = x$

分母分子に $bx+2$ を掛けて整理します。

$\frac{2(3x+4) + a(bx+2)}{3x+4 + 3(bx+2)} = x$

$\frac{6x+8 + abx + 2a}{3x+4 + 3bx+6} = x$

$\frac{(6+ab)x + (8+2a)}{(3+3b)x + 10} = x$

$(6+ab)x + (8+2a) = x((3+3b)x + 10)$

$(6+ab)x + (8+2a) = (3+3b)x^2 + 10x$

この式が全ての $x$ について成り立つためには、$x^2$ の係数が $0$ でなければなりません。したがって $3+3b = 0$ より $b = -1$ が得られます。

次に $x$ の係数を比較します。 $6+ab = 10$ となります。$b=-1$ を代入すると $6-a = 10$ より $a = -4$ が得られます。

最後に定数項を比較します。 $8+2a = 0$ となります。$a = -4$ を代入すると $8+2(-4) = 8-8 = 0$ となり矛盾はありません。

したがって、$a = -4$ および $b = -1$ です。

3. 最終的な答え

$a = -4$

$b = -1$