関数 $f(x) = \frac{ax-4}{x+3}$ と $g(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ が与えられている。合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a, b$ の値を求める。ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ かつ $b \neq \frac{3}{2}$ とする。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{ax-4}{x+3}$ と $g(x) = \frac{3x+4}{bx+2}$ が与えられている。合成関数 $(g \circ f)(x) = x$ が成り立つような定数 $a, b$ の値を求める。ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ かつ $b \neq \frac{3}{2}$ とする。

2. 解き方の手順

$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ を計算する。

$g(f(x)) = g\left(\frac{ax-4}{x+3}\right) = \frac{3\left(\frac{ax-4}{x+3}\right)+4}{b\left(\frac{ax-4}{x+3}\right)+2}$

$g(f(x)) = \frac{3(ax-4)+4(x+3)}{b(ax-4)+2(x+3)} = \frac{3ax-12+4x+12}{abx-4b+2x+6} = \frac{(3a+4)x}{(ab+2)x+(6-4b)}$

$g(f(x))=x$ より、

$\frac{(3a+4)x}{(ab+2)x+(6-4b)} = x$

$(3a+4)x = x((ab+2)x+(6-4b))$

$(3a+4)x = (ab+2)x^2+(6-4b)x$

この式が任意の $x$ で成立するためには、$x^2$ の係数が $0$ でなければならない。したがって、

$ab+2=0$

また、$x$ の係数が等しくなければならないので、

$3a+4 = 6-4b$

すなわち、$3a+4b = 2$

$ab = -2$ より、$b = -\frac{2}{a}$

これを $3a+4b=2$ に代入すると、

$3a + 4\left(-\frac{2}{a}\right) = 2$

$3a - \frac{8}{a} = 2$

$3a^2 - 8 = 2a$

$3a^2 - 2a - 8 = 0$

$(3a+4)(a-2) = 0$

したがって、$a = -\frac{4}{3}$ または $a = 2$

ただし、$a \neq -\frac{4}{3}$ なので、$a=2$ である。

$a=2$ を $ab = -2$ に代入すると、

$2b = -2$

$b = -1$

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = -1$