関数 $y = ax + b$ の定義域が $-1 \le x \le 2$ のとき、値域が $-3 \le y \le 3$ となるように、定数 $a, b$ の値を定めよ。ただし、$a > 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y = ax + b$ の定義域が $-1 \le x \le 2$ のとき、値域が $-3 \le y \le 3$ となるように、定数 $a, b$ の値を定めよ。ただし、$a > 0$ とする。

2. 解き方の手順

$a > 0$ より、関数 $y = ax + b$ は単調増加である。したがって、$x = -1$ のとき $y = -3$ であり、$x = 2$ のとき $y = 3$ である。

これらの条件から、以下の2つの式が得られる。

$$-a + b = -3$$

$$2a + b = 3$$

これらの連立方程式を解く。

2番目の式から1番目の式を引くと、

$$(2a + b) - (-a + b) = 3 - (-3)$$

$$3a = 6$$

$$a = 2$$

$a = 2$ を1番目の式に代入すると、

$$-2 + b = -3$$

$$b = -1$$

3. 最終的な答え

$a = 2$, $b = -1$