与えられた等比数列について、以下の2つの問題に答えます。 (1) 初項から第3項までの和が21、第4項から第6項までの和が168であるとき、初項と公比を求めます。 (2) 初項から第3項までの和が35、第3項が20であるとき、初項と公比を求めます。

1. 問題の内容

与えられた等比数列について、以下の2つの問題に答えます。

(1) 初項から第3項までの和が21、第4項から第6項までの和が168であるとき、初項と公比を求めます。

(2) 初項から第3項までの和が35、第3項が20であるとき、初項と公比を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 初項を $a$、公比を $r$ とします。

初項から第3項までの和は $a + ar + ar^2 = a(1 + r + r^2)$ であり、これが21に等しいので、

$a(1 + r + r^2) = 21$ ...(1)

第4項から第6項までの和は $ar^3 + ar^4 + ar^5 = ar^3(1 + r + r^2)$ であり、これが168に等しいので、

$ar^3(1 + r + r^2) = 168$ ...(2)

(2)を(1)で割ると

$\frac{ar^3(1 + r + r^2)}{a(1 + r + r^2)} = \frac{168}{21}$

$r^3 = 8$

$r = 2$

これを(1)に代入すると、

$a(1 + 2 + 2^2) = 21$

$a(1 + 2 + 4) = 21$

$7a = 21$

$a = 3$

(2) 初項を $a$、公比を $r$ とします。

初項から第3項までの和は $a + ar + ar^2 = a(1 + r + r^2)$ であり、これが35に等しいので、

$a(1 + r + r^2) = 35$ ...(3)

第3項は $ar^2$ であり、これが20に等しいので、

$ar^2 = 20$ ...(4)

(3)を $a$ について解くと $a = \frac{35}{1 + r + r^2}$

これを(4)に代入すると $\frac{35}{1 + r + r^2} * r^2 = 20$

$35r^2 = 20(1 + r + r^2)$

$35r^2 = 20 + 20r + 20r^2$

$15r^2 - 20r - 20 = 0$

$3r^2 - 4r - 4 = 0$

$(3r + 2)(r - 2) = 0$

$r = 2, -\frac{2}{3}$

$r = 2$ のとき、(4)より $4a = 20$ なので $a = 5$

$r = -\frac{2}{3}$ のとき、(4)より $\frac{4}{9}a = 20$ なので $a = 45$

3. 最終的な答え

(1) 初項: 3, 公比: 2

(2) 初項: 5, 公比: 2 または 初項: 45, 公比: -2/3