与えられた一次関数の定義域における値域を求め、最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = 2x + 3$ ($-1 \le x \le 1$) (2) $y = -2x + 3$ ($-1 \le x \le 2$) (3) $y = 3x + 1$ ($-2 \le x < 1$) (4) $y = -3x - 2$ ($-3 < x \le -1$)

1. 問題の内容

与えられた一次関数の定義域における値域を求め、最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = 2x + 3$ ($-1 \le x \le 1$)

(2) $y = -2x + 3$ ($-1 \le x \le 2$)

(3) $y = 3x + 1$ ($-2 \le x < 1$)

(4) $y = -3x - 2$ ($-3 < x \le -1$)

2. 解き方の手順

一次関数の最大値・最小値は、定義域の端点でとることが多いです。

それぞれの関数の定義域の端点の $x$ の値を関数に代入し、$y$ の値を求めます。

(3) と (4) は定義域に不等号が含まれているため、最大値・最小値が存在しない可能性があります。

(1) $y = 2x + 3$ ($-1 \le x \le 1$)

$x = -1$ のとき $y = 2(-1) + 3 = 1$

$x = 1$ のとき $y = 2(1) + 3 = 5$

したがって、最小値は $1$ ( $x=-1$ のとき)、最大値は $5$ ( $x=1$ のとき)です。

値域は $1 \le y \le 5$ です。

(2) $y = -2x + 3$ ($-1 \le x \le 2$)

$x = -1$ のとき $y = -2(-1) + 3 = 5$

$x = 2$ のとき $y = -2(2) + 3 = -1$

したがって、最小値は $-1$ ( $x=2$ のとき)、最大値は $5$ ( $x=-1$ のとき)です。

値域は $-1 \le y \le 5$ です。

(3) $y = 3x + 1$ ($-2 \le x < 1$)

$x = -2$ のとき $y = 3(-2) + 1 = -5$

$x = 1$ のとき $y = 3(1) + 1 = 4$

$x < 1$ なので、最大値は $4$ ではありません。 $4$ に限りなく近い値を取りますが、$4$ そのものは取りません。

したがって、最小値は $-5$ ( $x=-2$ のとき)、最大値はなし。

値域は $-5 \le y < 4$ です。

(4) $y = -3x - 2$ ($-3 < x \le -1$)

$x = -3$ のとき $y = -3(-3) - 2 = 7$

$x = -1$ のとき $y = -3(-1) - 2 = 1$

$-3 < x$ なので、$x=-3$ は含みません。

したがって、最小値は $1$ ( $x=-1$ のとき)、最大値はなし。

値域は $1 \le y < 7$ です。

3. 最終的な答え

(1)

値域: $1 \le y \le 5$

最小値: $1$ ( $x=-1$ のとき)

最大値: $5$ ( $x=1$ のとき)

(2)

値域: $-1 \le y \le 5$

最小値: $-1$ ( $x=2$ のとき)

最大値: $5$ ( $x=-1$ のとき)

(3)

値域: $-5 \le y < 4$

最小値: $-5$ ( $x=-2$ のとき)

最大値: なし

(4)

値域: $1 \le y < 7$

最小値: $1$ ( $x=-1$ のとき)

最大値: なし