行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$、行列 $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$、ベクトル $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられています。以下の計算を行いなさい。 (1) $A + B$ (2) $2A$ (3) $AB$ (4) $BA$ (5) $Av$ (6) $\det A$ (7) $\det B$ (8) $A^{-1}$ (9) $B^{-1}$ (10) $^tA$ （$A$の転置行列） (11) $^tB$ （$B$の転置行列）

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$、行列 $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$、ベクトル $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ が与えられています。以下の計算を行いなさい。

(1) $A + B$

(2) $2A$

(3) $AB$

(4) $BA$

(5) $Av$

(6) $\det A$

(7) $\det B$

(8) $A^{-1}$

(9) $B^{-1}$

(10) $^tA$ （$A$の転置行列）

(11) $^tB$ （$B$の転置行列）

2. 解き方の手順

(1) $A + B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+2 & 2-1 \\ 3+0 & 4+1 \end{pmatrix}$

(2) $2A = 2 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times 1 & 2 \times 2 \\ 2 \times 3 & 2 \times 4 \end{pmatrix}$

(3) $AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 2) + (2 \times 0) & (1 \times -1) + (2 \times 1) \\ (3 \times 2) + (4 \times 0) & (3 \times -1) + (4 \times 1) \end{pmatrix}$

(4) $BA = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2 \times 1) + (-1 \times 3) & (2 \times 2) + (-1 \times 4) \\ (0 \times 1) + (1 \times 3) & (0 \times 2) + (1 \times 4) \end{pmatrix}$

(5) $Av = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1 \times 1) + (2 \times 1) \\ (3 \times 1) + (4 \times 1) \end{pmatrix}$

(6) $\det A = (1 \times 4) - (2 \times 3)$

(7) $\det B = (2 \times 1) - (-1 \times 0)$

(8) $A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$

(9) $B^{-1} = \frac{1}{\det B} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

(10) $^tA = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

(11) $^tB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A + B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $2A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix}$

(3) $AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 1 \end{pmatrix}$

(4) $BA = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

(5) $Av = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$

(6) $\det A = -2$

(7) $\det B = 2$

(8) $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3/2 & -1/2 \end{pmatrix}$

(9) $B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(10) $^tA = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

(11) $^tB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$