この問題は、以下の4つのパートから構成されています。 * パート1: 分母の有理化（2問） * パート2: 二重根号の外し方（2問） * パート3: 不等式の解法（2問） * パート4: 連立不等式の解法（1問） 具体的には、以下の問題を解きます。 (15-1) $\frac{9}{2\sqrt{3}}$ の分母を有理化する。 (15-2) $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{5}}$ の分母を有理化する。 (16-1) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$ を簡単にする（二重根号を外す）。 (16-2) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$ を簡単にする（二重根号を外す）。 (17-1) $\frac{1}{4}x - 1 \le \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}$ を解く。 (17-2) $1.2x - 0.8 \le 2.7 - 0.55x$ を解く。 (18) $\begin{cases} 3x+5 \ge 4(x+2) \\ 4x+5 \ge 2x-3 \end{cases}$ を解く。

1. 問題の内容

この問題は、以下の4つのパートから構成されています。

* パート1: 分母の有理化（2問）

* パート2: 二重根号の外し方（2問）

* パート3: 不等式の解法（2問）

* パート4: 連立不等式の解法（1問）

具体的には、以下の問題を解きます。

(15-1) $\frac{9}{2\sqrt{3}}$ の分母を有理化する。

(15-2) $\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{5}}$ の分母を有理化する。

(16-1) $\sqrt{9+\sqrt{56}}$ を簡単にする（二重根号を外す）。

(16-2) $\sqrt{4-\sqrt{15}}$ を簡単にする（二重根号を外す）。

(17-1) $\frac{1}{4}x - 1 \le \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}$ を解く。

(17-2) $1.2x - 0.8 \le 2.7 - 0.55x$ を解く。

(18) $\begin{cases} 3x+5 \ge 4(x+2) \\ 4x+5 \ge 2x-3 \end{cases}$ を解く。

2. 解き方の手順

(15-1) 分母の有理化:

分母にある $\sqrt{3}$ を消すために、分子と分母に$\sqrt{3}$をかけます。

$\frac{9}{2\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{9\sqrt{3}}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(15-2) 分母の有理化:

分母にある $2-\sqrt{5}$ を消すために、分子と分母に $2+\sqrt{5}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{2-\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{5})}{(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})} = \frac{\sqrt{3}(2+\sqrt{5})}{4-5} = \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{15}}{-1} = -2\sqrt{3}-\sqrt{15}$

(16-1) 二重根号を外す:

$\sqrt{9+\sqrt{56}}$ を $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ の形にします。

$\sqrt{9+\sqrt{56}} = \sqrt{9+2\sqrt{14}}$

$a+b = 9$ と $ab = 14$ を満たす $a, b$ を探します。

$a=7$, $b=2$ が見つかります。よって、

$\sqrt{9+2\sqrt{14}} = \sqrt{7} + \sqrt{2}$

(16-2) 二重根号を外す:

$\sqrt{4-\sqrt{15}}$ を $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ の形にします。

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \sqrt{4-2\sqrt{\frac{15}{4}}} = \sqrt{\frac{8}{2}-\sqrt{15}}$

$a+b = 4$ と $ab = \frac{15}{4}$ を満たす $a, b$ を探します。

$a=\frac{5}{2}$, $b=\frac{3}{2}$ が見つかります。よって、

$\sqrt{4-\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{2} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

(17-1) 不等式を解く:

$\frac{1}{4}x - 1 \le \frac{2}{3}x - \frac{1}{6}$

両辺に12をかけます。

$3x - 12 \le 8x - 2$

$-5x \le 10$

$x \ge -2$

(17-2) 不等式を解く:

$1.2x - 0.8 \le 2.7 - 0.55x$

$1.75x \le 3.5$

$x \le 2$

(18) 連立不等式を解く:

$\begin{cases} 3x+5 \ge 4(x+2) \\ 4x+5 \ge 2x-3 \end{cases}$

一つ目の不等式:

$3x+5 \ge 4x+8$

$-x \ge 3$

$x \le -3$

二つ目の不等式:

$4x+5 \ge 2x-3$

$2x \ge -8$

$x \ge -4$

よって、 $-4 \le x \le -3$

3. 最終的な答え

(15-1) $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

(15-2) $-2\sqrt{3}-\sqrt{15}$

(16-1) $\sqrt{7} + \sqrt{2}$

(16-2) $\frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}$

(17-1) $x \ge -2$

(17-2) $x \le 2$

(18) $-4 \le x \le -3$