関数 $f(x) = \frac{bx-3}{x+a}$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とするとき、$f^{-1}(1) = 2$ と $f^{-1}(3) = 0$ が与えられている。定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{bx-3}{x+a}$ の逆関数を $f^{-1}(x)$ とするとき、$f^{-1}(1) = 2$ と $f^{-1}(3) = 0$ が与えられている。定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

逆関数の性質より、$f^{-1}(1) = 2$ ならば $f(2) = 1$ であり、$f^{-1}(3) = 0$ ならば $f(0) = 3$ である。

$f(2) = 1$ より、

$\frac{2b-3}{2+a} = 1$

$2b - 3 = 2 + a$

$2b - a = 5$ ...(1)

$f(0) = 3$ より、

$\frac{b \cdot 0 - 3}{0+a} = 3$

$\frac{-3}{a} = 3$

$a = -1$ ...(2)

(2) を (1) に代入すると、

$2b - (-1) = 5$

$2b + 1 = 5$

$2b = 4$

$b = 2$

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 2$