関数 $g(x) = -x + 1$ が与えられ、$ (f \circ f)(x) = x $ かつ $ (f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) $ を満たす一次関数 $f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $g(x) = -x + 1$ が与えられ、$(f \circ f)(x) = x$ かつ $(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ を満たす一次関数 $f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x)$ が一次関数なので、$f(x) = ax + b$ とおきます。

まず、$(f \circ f)(x) = x$ の条件から、$a$ と $b$ の関係式を求めます。

$f(f(x)) = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a^2 x + ab + b$

これが $x$ に等しいので、

$a^2 x + ab + b = x$

係数を比較して、$a^2 = 1$ かつ $ab + b = 0$ が得られます。

$a^2 = 1$ より、$a = 1$ または $a = -1$ です。

(i) $a = 1$ のとき、$b + b = 0$ より、$b = 0$ となります。

(ii) $a = -1$ のとき、$-b + b = 0$ となり、$b$ は任意の実数となります。

次に、$(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ の条件から、$a$ と $b$ の関係式を求めます。

$f(g(x)) = f(-x + 1) = a(-x + 1) + b = -ax + a + b$

$g(f(x)) = g(ax + b) = -(ax + b) + 1 = -ax - b + 1$

$f(g(x)) = g(f(x))$ なので、

$-ax + a + b = -ax - b + 1$

$a + b = -b + 1$

$2b = 1 - a$

$b = \frac{1 - a}{2}$

(i) $a = 1$ のとき、$b = \frac{1 - 1}{2} = 0$ となり、$f(x) = x$ となります。

このとき、$(f \circ f)(x) = x$ かつ $(f \circ g)(x) = g(x)$、$(g \circ f)(x) = g(x)$ となり、$(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ も成り立ちます。

(ii) $a = -1$ のとき、$b = \frac{1 - (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、$f(x) = -x + 1$ となります。

このとき、$(f \circ f)(x) = -(-x+1) + 1 = x - 1 + 1 = x$ かつ $(f \circ g)(x) = f(-x + 1) = -(-x + 1) + 1 = x - 1 + 1 = x$、$(g \circ f)(x) = g(-x + 1) = -(-x + 1) + 1 = x - 1 + 1 = x$ となり、$(f \circ g)(x) = (g \circ f)(x)$ も成り立ちます。

3. 最終的な答え

$f(x) = x$ または $f(x) = -x + 1$