(1) $\frac{1}{2} \log_{5}3 + 3\log_{5}\sqrt{2} - \log_{5}\sqrt{24}$ を計算する。 (2) $(\log_{2}3 + \log_{4}9)(\log_{3}4 + \log_{9}2)$ を計算する。

1. 問題の内容

(1) $\frac{1}{2} \log_{5}3 + 3\log_{5}\sqrt{2} - \log_{5}\sqrt{24}$ を計算する。

(2) $(\log_{2}3 + \log_{4}9)(\log_{3}4 + \log_{9}2)$ を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{2} \log_{5}3 + 3\log_{5}\sqrt{2} - \log_{5}\sqrt{24}$

まず、対数の性質を用いて式を整理します。

$\frac{1}{2} \log_{5}3 = \log_{5}3^{\frac{1}{2}} = \log_{5}\sqrt{3}$

$3\log_{5}\sqrt{2} = \log_{5}(\sqrt{2})^3 = \log_{5}2\sqrt{2}$

よって、与式は、

$\log_{5}\sqrt{3} + \log_{5}2\sqrt{2} - \log_{5}\sqrt{24} = \log_{5}\frac{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}}{\sqrt{24}}$

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} = 2\sqrt{2 \cdot 3} = 2\sqrt{2}\sqrt{3}$

したがって、

$\log_{5}\frac{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{3}} = \log_{5}1 = 0$

(2) $(\log_{2}3 + \log_{4}9)(\log_{3}4 + \log_{9}2)$

$\log_{4}9 = \frac{\log_{2}9}{\log_{2}4} = \frac{\log_{2}3^2}{2} = \frac{2\log_{2}3}{2} = \log_{2}3$

$\log_{9}2 = \frac{\log_{3}2}{\log_{3}9} = \frac{\log_{3}2}{2}$

$\log_{3}4 = \log_{3}2^2 = 2\log_{3}2$

よって、

$(\log_{2}3 + \log_{2}3)(2\log_{3}2 + \frac{1}{2}\log_{3}2) = (2\log_{2}3)(\frac{5}{2}\log_{3}2)$

$= 5 \log_{2}3 \cdot \log_{3}2 = 5 \cdot \frac{\log_{2}2}{\log_{2}3} \cdot \log_{3}2= 5 \cdot \frac{\log_{2}3}{\log_{2}3} = 5$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 5