関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ と $g(x) = \frac{x+1}{x-2}$ が与えられています。合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ と $g(x) = \frac{x+1}{x-2}$ が与えられています。合成関数 $(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$(g \circ f)(x) = g(f(x))$ を求めます。

$g(x) = \frac{x+1}{x-2}$ に $x$ の代わりに $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ を代入します。

$g(f(x)) = \frac{\frac{2x+1}{x-1} + 1}{\frac{2x+1}{x-1} - 2}$

次に、分子と分母をそれぞれ整理します。

分子: $\frac{2x+1}{x-1} + 1 = \frac{2x+1 + (x-1)}{x-1} = \frac{3x}{x-1}$

分母: $\frac{2x+1}{x-1} - 2 = \frac{2x+1 - 2(x-1)}{x-1} = \frac{2x+1-2x+2}{x-1} = \frac{3}{x-1}$

したがって、

$g(f(x)) = \frac{\frac{3x}{x-1}}{\frac{3}{x-1}} = \frac{3x}{x-1} \cdot \frac{x-1}{3} = x$

次に、$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ を求めます。

$f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ に $x$ の代わりに $g(x) = \frac{x+1}{x-2}$ を代入します。

$f(g(x)) = \frac{2(\frac{x+1}{x-2}) + 1}{\frac{x+1}{x-2} - 1}$

次に、分子と分母をそれぞれ整理します。

分子: $2(\frac{x+1}{x-2}) + 1 = \frac{2(x+1) + (x-2)}{x-2} = \frac{2x+2+x-2}{x-2} = \frac{3x}{x-2}$

分母: $\frac{x+1}{x-2} - 1 = \frac{x+1 - (x-2)}{x-2} = \frac{x+1-x+2}{x-2} = \frac{3}{x-2}$

したがって、

$f(g(x)) = \frac{\frac{3x}{x-2}}{\frac{3}{x-2}} = \frac{3x}{x-2} \cdot \frac{x-2}{3} = x$

3. 最終的な答え

$(g \circ f)(x) = x$

$(f \circ g)(x) = x$