問題は、次の方程式と不等式を解くことです。 (1) $3^{x+1} = \sqrt[3]{9}$ (2) $8^x \le 4^{x+1}$ (3) $(\frac{1}{2})^{x-1} \ge (\sqrt{2})^x$

1. 問題の内容

問題は、次の方程式と不等式を解くことです。

(1) $3^{x+1} = \sqrt[3]{9}$

(2) $8^x \le 4^{x+1}$

(3) $(\frac{1}{2})^{x-1} \ge (\sqrt{2})^x$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$\sqrt[3]{9}$ を $3$ のべき乗で表します。$\sqrt[3]{9} = 9^{\frac{1}{3}} = (3^2)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3}}$ です。

したがって、方程式は $3^{x+1} = 3^{\frac{2}{3}}$ となります。

指数部分を比較すると、$x+1 = \frac{2}{3}$ となります。

これを解くと、$x = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$ となります。

(2)

$8^x = (2^3)^x = 2^{3x}$ であり、$4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x+2}$ です。

不等式は $2^{3x} \le 2^{2x+2}$ となります。

指数部分を比較すると、$3x \le 2x+2$ となります。

これを解くと、$x \le 2$ となります。

(3)

$(\frac{1}{2})^{x-1} = (2^{-1})^{x-1} = 2^{-(x-1)} = 2^{1-x}$ です。

$(\sqrt{2})^x = (2^{\frac{1}{2}})^x = 2^{\frac{x}{2}}$ です。

不等式は $2^{1-x} \ge 2^{\frac{x}{2}}$ となります。

指数部分を比較すると、$1-x \ge \frac{x}{2}$ となります。

両辺に 2 をかけると、$2-2x \ge x$ となります。

これを解くと、$2 \ge 3x$, つまり $x \le \frac{2}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x = -\frac{1}{3}$

(2) $x \le 2$

(3) $x \le \frac{2}{3}$