与えられた対数の式を計算する問題です。 (1) $\frac{1}{2} \log_5 3 + 3\log_5 \sqrt{2} - \log_5 \sqrt{24}$ (2) $(\log_2 3 + \log_4 9)(\log_3 4 + \log_9 2)$

1. 問題の内容

与えられた対数の式を計算する問題です。

(1) $\frac{1}{2} \log_5 3 + 3\log_5 \sqrt{2} - \log_5 \sqrt{24}$

(2) $(\log_2 3 + \log_4 9)(\log_3 4 + \log_9 2)$

2. 解き方の手順

(1)

まず、各項を整理します。

$\frac{1}{2} \log_5 3 = \log_5 3^{\frac{1}{2}} = \log_5 \sqrt{3}$

$3\log_5 \sqrt{2} = \log_5 (\sqrt{2})^3 = \log_5 2\sqrt{2}$

$\log_5 \sqrt{24} = \log_5 \sqrt{4 \cdot 6} = \log_5 2\sqrt{6}$

与式は

$\log_5 \sqrt{3} + \log_5 2\sqrt{2} - \log_5 2\sqrt{6} = \log_5 \frac{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \log_5 \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \log_5 1 = 0$

(2)

$\log_2 3 + \log_4 9 = \log_2 3 + \log_{2^2} 3^2 = \log_2 3 + \frac{2}{2} \log_2 3 = \log_2 3 + \log_2 3 = 2\log_2 3$

$\log_3 4 + \log_9 2 = \log_3 2^2 + \log_{3^2} 2 = 2\log_3 2 + \frac{1}{2} \log_3 2 = \frac{5}{2} \log_3 2$

与式は

$(2\log_2 3)(\frac{5}{2} \log_3 2) = 2 \cdot \frac{5}{2} \log_2 3 \cdot \log_3 2 = 5 \cdot \frac{\log 3}{\log 2} \cdot \frac{\log 2}{\log 3} = 5 \cdot 1 = 5$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) 5