関数 $y = \sqrt{2x-6}$ の定義域が $a \le x \le b$ であるとき、値域が $2 \le y \le 4$ となるような定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{2x-6}$ の定義域が $a \le x \le b$ であるとき、値域が $2 \le y \le 4$ となるような定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = \sqrt{2x-6}$ の性質を調べます。

根号の中が負にならないように、$2x - 6 \ge 0$ より、$x \ge 3$ が必要です。

したがって、定義域は $x \ge 3$ です。

次に、$y$ の範囲から $x$ の範囲を求めます。

$2 \le y \le 4$ より、各辺を2乗すると $4 \le y^2 \le 16$ です。

$y = \sqrt{2x-6}$ なので、$y^2 = 2x-6$ です。

したがって、$4 \le 2x-6 \le 16$ となります。

まず、$4 \le 2x-6$ を解きます。

$4 \le 2x-6$

$10 \le 2x$

$5 \le x$

次に、$2x-6 \le 16$ を解きます。

$2x-6 \le 16$

$2x \le 22$

$x \le 11$

したがって、$5 \le x \le 11$ が得られます。

問題文より、$a \le x \le b$ なので、$a = 5$, $b = 11$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 5$

$b = 11$