不等式 $\sqrt{2x+1} \le \frac{1}{2}x + 1$ を解け。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{2x+1} \le \frac{1}{2}x + 1$ を解け。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が0以上である必要があるため、$2x+1 \ge 0$ より、$x \ge -\frac{1}{2}$ である。

次に、不等式の両辺を2乗する。

$$(\sqrt{2x+1})^2 \le (\frac{1}{2}x + 1)^2$$

$$2x+1 \le \frac{1}{4}x^2 + x + 1$$

$$0 \le \frac{1}{4}x^2 - x$$

$$0 \le \frac{1}{4}x(x-4)$$

$$0 \le x(x-4)$$

この不等式を解く。

$x(x-4) \ge 0$ より、$x \le 0$ または $x \ge 4$ である。

最初に求めた条件 $x \ge -\frac{1}{2}$ と組み合わせると、$-\frac{1}{2} \le x \le 0$ または $x \ge 4$ となる。

ここで、与えられた不等式 $\sqrt{2x+1} \le \frac{1}{2}x + 1$ に解が適合するかを検証する。

$-\frac{1}{2} \le x \le 0$ のとき、$\frac{1}{2}x+1 >0$は常に成り立つ。また、$x=-\frac{1}{2}$のとき$\sqrt{0} \le \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})+1 = \frac{3}{4}$で成り立つ。$x=0$のとき$\sqrt{1} \le 1$ で成り立つ。

$x \ge 4$ のとき、$\frac{1}{2}x+1>0$は常に成り立つ。

よって、$x \le 0$または $x \ge 4$ と $x \ge -\frac{1}{2}$ より、$-\frac{1}{2} \le x \le 0$または $x \ge 4$ である。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \le x \le 0$ または $x \ge 4$