与えられた不等式 $\sqrt{4x+5} > \frac{1}{2}(x+5)$ を解く。

代数学不等式根号二次不等式

2025/7/8

1. 問題の内容

与えられた不等式

\sqrt{4x+5} > \frac{1}{2}(x+5)

を解く。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身が非負である必要があるため、

4x+5 \geq 0

、すなわち、

x \geq -\frac{5}{4}

が必要条件となります。

次に、不等式の両辺を2倍して、

2\sqrt{4x+5} > x+5

とします。

両辺を2乗して、

4(4x+5) > (x+5)^2

16x+20 > x^2+10x+25

0 > x^2 - 6x + 5

x^2 - 6x + 5 < 0

(x-1)(x-5) < 0

したがって、

1 < x < 5

となります。

これは

x \geq -\frac{5}{4}

を満たしています。

3. 最終的な答え

1 < x < 5

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