与えられた式を計算し、簡略化する問題です。式は $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-1} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算し、簡略化する問題です。式は

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-1} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、各項の分母を有理化します。

第1項の分母を有理化します。分母$\sqrt{3}-1$の共役複素数である$\sqrt{3}+1$を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{\sqrt{15}+\sqrt{5}}{3-1} = \frac{\sqrt{15}+\sqrt{5}}{2}$

第2項の分母を有理化します。分母$\sqrt{5}+\sqrt{3}$の共役複素数である$\sqrt{5}-\sqrt{3}$を分子と分母に掛けます。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{15}-3}{5-3} = \frac{\sqrt{15}-3}{2}$

上記の2つの項を元の式に代入します。

$\frac{\sqrt{15}+\sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{15}-3}{2} = \frac{(\sqrt{15}+\sqrt{5})-(\sqrt{15}-3)}{2} = \frac{\sqrt{15}+\sqrt{5}-\sqrt{15}+3}{2} = \frac{\sqrt{5}+3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5}+3}{2}$