与えられた数式を計算する問題です。 (1) $64^{\frac{2}{3}} \times 16^{-\frac{1}{4}}$ (2) $\sqrt[3]{9} \times \sqrt[6]{9} \div \sqrt[4]{27}$

1. 問題の内容

与えられた数式を計算する問題です。

(1) $64^{\frac{2}{3}} \times 16^{-\frac{1}{4}}$

(2) $\sqrt[3]{9} \times \sqrt[6]{9} \div \sqrt[4]{27}$

2. 解き方の手順

(1) $64^{\frac{2}{3}} \times 16^{-\frac{1}{4}}$ を計算します。

まず、指数を計算しやすいように、底を素因数分解します。

$64 = 2^6$ なので、$64^{\frac{2}{3}} = (2^6)^{\frac{2}{3}} = 2^{6 \times \frac{2}{3}} = 2^4 = 16$

$16 = 2^4$ なので、$16^{-\frac{1}{4}} = (2^4)^{-\frac{1}{4}} = 2^{4 \times (-\frac{1}{4})} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

したがって、

$64^{\frac{2}{3}} \times 16^{-\frac{1}{4}} = 16 \times \frac{1}{2} = 8$

(2) $\sqrt[3]{9} \times \sqrt[6]{9} \div \sqrt[4]{27}$ を計算します。

まず、すべての数を指数表記に変換します。

$9=3^2$、 $27=3^3$を用いると、

$\sqrt[3]{9} = (3^2)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{2}{3}}$

$\sqrt[6]{9} = (3^2)^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{2}{6}} = 3^{\frac{1}{3}}$

$\sqrt[4]{27} = (3^3)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{3}{4}}$

したがって、

$\sqrt[3]{9} \times \sqrt[6]{9} \div \sqrt[4]{27} = 3^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{1}{3}} \div 3^{\frac{3}{4}} = 3^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{3}{4}} = 3^{1-\frac{3}{4}} = 3^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{3}$

3. 最終的な答え

(1) 8

(2) $\sqrt[4]{3}$