$\alpha$ が第4象限の角で、$\cos \alpha = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\tan 2\alpha$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\alpha$ が第4象限の角で、$\cos \alpha = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\tan 2\alpha$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\sin \alpha$ の値を求める。$\alpha$ は第4象限の角なので、$\sin \alpha$ は負の値となる。

三角関数の基本公式 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ を利用する。

$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}$

$\alpha$ は第4象限の角なので、$\sin \alpha = - \frac{4}{5}$

次に、2倍角の公式を用いて $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$, $\tan 2\alpha$ の値を求める。

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot (-\frac{4}{5}) \cdot \frac{3}{5} = -\frac{24}{25}$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\frac{3}{5})^2 - (-\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{-\frac{24}{25}}{-\frac{7}{25}} = \frac{24}{7}$

3. 最終的な答え

$\sin 2\alpha = -\frac{24}{25}$

$\cos 2\alpha = -\frac{7}{25}$

$\tan 2\alpha = \frac{24}{7}$