図1のように自然数を規則的に配置したカードにおいて、「nの十字」と呼ばれる5枚のカードの配置を考える。 (1) 「nの十字」における5枚のカードに記入された数の和をnを使った式で表す。 (2) ある自然数 $a$ について、「$a$ の十字」の5枚のカードに記入された数の和が225となるとき、$a$ の値を求める。また、その$a$が図1の中に何段目に初めて現れるかを求める。

1. 問題の内容

図1のように自然数を規則的に配置したカードにおいて、「nの十字」と呼ばれる5枚のカードの配置を考える。

(1) 「nの十字」における5枚のカードに記入された数の和をnを使った式で表す。

(2) ある自然数 $a$ について、「$a$ の十字」の5枚のカードに記入された数の和が225となるとき、$a$ の値を求める。また、その$a$が図1の中に何段目に初めて現れるかを求める。

2. 解き方の手順

(1) 「nの十字」における5枚のカードに記入された数を考える。

図2を見ると、5枚のカードに記入された数は、上から順に $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$となる。

したがって、5枚のカードに記入された数の和は、

$n + (n+1) + (n-1) + (n+1) + (n+2) = 5n$ となる。

(2) 「$a$ の十字」の5枚のカードに記入された数の和が225となるとき、$a$ の値を求める。

(1)より、「$a$ の十字」の5枚のカードに記入された数の和は $5a$ である。

したがって、$5a = 4n + n-2 + n + n+2 = 5n$

$5a = 225$

$a = 225 / 5$

$a = 45$

$a = 45$ が図1の中に何段目に初めて現れるかを求める。

$m$段目の一番左のカードに記入された数は $m$ である。

各段の左端の数は、1, 2, 3, 4,...と増えていく。

したがって、$a=45$は45段目に初めて現れる。

3. 最終的な答え

(1) $5n$

(2) $a=45$, 45段目