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与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。 行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & -8 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{vmatrix}$

代数学行列式線形代数行列
2025/7/8

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。
行列は以下の通りです。
∣2−4−53−6131411−2−2−82−505∣\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & -8 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{vmatrix}

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を使ってできるだけ多くの0を作り、計算を簡単にします。
1行目を-2倍して3行目に足します。
∣2−4−53−6131411−2(2)−2−2(−4)−2−2(−5)−8−2(3)2−505∣=∣2−4−53−613141−368−142−505∣\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ 1 - 2(2) & -2 - 2(-4) & -2 - 2(-5) & -8 - 2(3) \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ -3 & 6 & 8 & -14 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{vmatrix}
1行目を-1倍して4行目に足します。
∣2−4−53−613141−368−142−2−5−(−4)0−(−5)5−3∣=∣2−4−53−613141−368−140−152∣\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ -3 & 6 & 8 & -14 \\ 2-2 & -5-(-4) & 0-(-5) & 5-3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ -3 & 6 & 8 & -14 \\ 0 & -1 & 5 & 2 \end{vmatrix}
1行目を3倍して2行目に足します。
∣2−4−53−6+3(2)13+3(−4)14+3(−5)1+3(3)−368−140−152∣=∣2−4−5301−110−368−140−152∣\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6+3(2) & 13+3(-4) & 14+3(-5) & 1+3(3) \\ -3 & 6 & 8 & -14 \\ 0 & -1 & 5 & 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 10 \\ -3 & 6 & 8 & -14 \\ 0 & -1 & 5 & 2 \end{vmatrix}
2行目を1倍して4行目に足します。
∣2−4−5301−110−368−140−1+15−12+10∣=∣2−4−5301−110−368−1400412∣\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 10 \\ -3 & 6 & 8 & -14 \\ 0 & -1+1 & 5-1 & 2+10 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 10 \\ -3 & 6 & 8 & -14 \\ 0 & 0 & 4 & 12 \end{vmatrix}
第二列に関して展開します。
2∣1−11068−140412∣−(−4)∣0−110−38−140412∣2 \begin{vmatrix} 1 & -1 & 10 \\ 6 & 8 & -14 \\ 0 & 4 & 12 \end{vmatrix} - (-4) \begin{vmatrix} 0 & -1 & 10 \\ -3 & 8 & -14 \\ 0 & 4 & 12 \end{vmatrix}
=2[1(8⋅12−(−14)⋅4)−(−1)(6⋅12−(−14)⋅0)+10(6⋅4−8⋅0)]+4[0−(−1)(−3⋅12−(−14)⋅0)+10(−3⋅4−8⋅0)]= 2[1(8 \cdot 12 - (-14) \cdot 4) - (-1)(6 \cdot 12 - (-14) \cdot 0) + 10(6 \cdot 4 - 8 \cdot 0)] + 4[0 - (-1)(-3 \cdot 12 - (-14) \cdot 0) + 10(-3 \cdot 4 - 8 \cdot 0)]
=2[1(96+56)+1(72)+10(24)]+4[1(−36)+10(−12)]= 2[1(96 + 56) + 1(72) + 10(24)] + 4[1( -36) + 10(-12)]
=2(152+72+240)+4(−36−120)= 2(152+72+240) + 4(-36-120)
=2(464)+4(−156)= 2(464) + 4(-156)
=928−624=304= 928 - 624 = 304

3. 最終的な答え

304

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