## 問題 (10) の内容

## 問題 (10) の内容

$n$ 次の行列式を求めます。行列の成分は以下の通りです。

$$

\begin{pmatrix}

0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\

0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\

0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\

1 & 0 & \cdots & 0 & 0

\end{pmatrix}

$$

## 解き方の手順

この行列は、反転行列です。つまり、単位行列の列を逆順に並べたものです。

行列式を計算するには、行列を単位行列に変形するために必要な行の入れ替えの回数を数えます。

$n$ が偶数の場合、行の入れ替えの回数は $n/2$ の整数部分となります。

$n$ が奇数の場合、行の入れ替えの回数は $(n-1)/2$ の整数部分となります。

一般的に、行の入れ替えを1回行うと、行列式の符号が反転します。したがって、行の入れ替えの回数が偶数であれば、行列式は+1であり、奇数であれば-1です。

行の入れ替えの回数は、 $n/2$ の整数部分になるので、

* $n$ が $4k$ または $4k+1$ の形の場合 (kは整数)、入れ替え回数は偶数となり、行列式は1です。

* $n$ が $4k+2$ または $4k+3$ の形の場合 (kは整数)、入れ替え回数は奇数となり、行列式は-1です。

したがって、行列式は $(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}$ と表すことができます。または、 $n$ が偶数の場合、行を入れ替える回数は $n/2$ となり、行列式は $(-1)^{n/2}$ となります。

## 最終的な答え

行列式は $(-1)^{\lfloor n/2 \rfloor}$ または $n$ が偶数の場合は $(-1)^{n/2}$ となります。