2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ が与えられたとき、以下の条件を満たすような定数 $m$ の値の範囲を求めます。 (1) 異なる2つの負の解を持つ (2) 正の解と負の解を持つ

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2mx + m + 2 = 0$ が与えられたとき、以下の条件を満たすような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

(1) 異なる2つの負の解を持つ

(2) 正の解と負の解を持つ

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの負の解を持つ場合

2次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D > 0$ が必要です。

$D = (-2m)^2 - 4(1)(m+2) = 4m^2 - 4m - 8 > 0$

$m^2 - m - 2 > 0$

$(m-2)(m+1) > 0$

よって、$m < -1$ または $m > 2$

次に、2つの解がともに負であるためには、解の和が負、解の積が正である必要があります。

解の和は $2m < 0$ より、$m < 0$

解の積は $m+2 > 0$ より、$m > -2$

したがって、これらの条件をすべて満たす $m$ の範囲は、

$-2 < m < -1$

(2) 正の解と負の解を持つ場合

2次方程式が正の解と負の解を持つためには、解の積が負である必要があります。

解の積は $m+2 < 0$ より、$m < -2$

したがって、$m < -2$

3. 最終的な答え

(1) 異なる2つの負の解を持つ場合：

$-2 < m < -1$

(2) 正の解と負の解を持つ場合：

$m < -2$