与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点の座標が$(-2, 4)$で、点$(-4, 2)$を通る放物線を表す2次関数を求めます。 (2) 軸が直線$x=2$で、2点$(-1, 5)$, $(1, -11)$を通る放物線を表す2次関数を求めます。

はい、承知いたしました。2次関数の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点の座標が$(-2, 4)$で、点$(-4, 2)$を通る放物線を表す2次関数を求めます。

(2) 軸が直線$x=2$で、2点$(-1, 5)$, $(1, -11)$を通る放物線を表す2次関数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標が与えられているので、2次関数を $y = a(x-p)^2 + q$ の形（頂点形式）で表すことができます。ここで$(p, q)$は頂点の座標です。

頂点の座標が$(-2, 4)$なので、$y = a(x+2)^2 + 4$ と表せます。次に、この放物線が点$(-4, 2)$を通るという条件から、$a$の値を求めます。$x = -4$, $y = 2$を代入して、

$2 = a(-4+2)^2 + 4$

$2 = 4a + 4$

$4a = -2$

$a = -\frac{1}{2}$

したがって、2次関数は $y = -\frac{1}{2}(x+2)^2 + 4$ となります。これを展開すると $y = -\frac{1}{2}(x^2 + 4x + 4) + 4 = -\frac{1}{2}x^2 - 2x - 2 + 4 = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$ となります。

(2) 軸が$x=2$であることから、2次関数を $y = a(x-2)^2 + q$ と表せます。この放物線が点$(-1, 5)$と点$(1, -11)$を通るので、これらの座標を代入して、$a$と$q$の連立方程式を立てます。

$5 = a(-1-2)^2 + q = 9a + q$

$-11 = a(1-2)^2 + q = a + q$

この連立方程式を解きます。

$9a + q = 5$

$a + q = -11$

上の式から下の式を引くと、$8a = 16$ となり、$a = 2$ が得られます。これを $a + q = -11$ に代入すると、$2 + q = -11$ となり、$q = -13$ が得られます。したがって、2次関数は $y = 2(x-2)^2 - 13$ となります。これを展開すると $y = 2(x^2 - 4x + 4) - 13 = 2x^2 - 8x + 8 - 13 = 2x^2 - 8x - 5$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = -\frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$

(2) $y = 2x^2 - 8x - 5$