(1) $x = \sqrt{2} + \sqrt{6}$, $y = \sqrt{2} - \sqrt{6}$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求める。 (2) $A = \sqrt{5} - \sqrt{3}$, $B = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ のとき、$\frac{B}{A} - \frac{A}{B}$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $x = \sqrt{2} + \sqrt{6}$, $y = \sqrt{2} - \sqrt{6}$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求める。

(2) $A = \sqrt{5} - \sqrt{3}$, $B = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ のとき、$\frac{B}{A} - \frac{A}{B}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 - y^2$ を因数分解すると、 $(x+y)(x-y)$ となる。

$x+y = (\sqrt{2} + \sqrt{6}) + (\sqrt{2} - \sqrt{6}) = 2\sqrt{2}$

$x-y = (\sqrt{2} + \sqrt{6}) - (\sqrt{2} - \sqrt{6}) = 2\sqrt{6}$

よって、

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) = (2\sqrt{2})(2\sqrt{6}) = 4\sqrt{12} = 4\sqrt{4 \cdot 3} = 4 \cdot 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

(2) $\frac{B}{A} - \frac{A}{B}$ を通分すると、$\frac{B^2 - A^2}{AB}$ となる。

$B^2 = (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$

$A^2 = (\sqrt{5} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{5})^2 - 2\sqrt{5}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 5 - 2\sqrt{15} + 3 = 8 - 2\sqrt{15}$

$B^2 - A^2 = (8 + 2\sqrt{15}) - (8 - 2\sqrt{15}) = 4\sqrt{15}$

$AB = (\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$

よって、$\frac{B}{A} - \frac{A}{B} = \frac{B^2 - A^2}{AB} = \frac{4\sqrt{15}}{2} = 2\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(1) $8\sqrt{3}$

(2) $2\sqrt{15}$