与えられた複数の行列について、それぞれの行列式を計算する。

1. 問題の内容

与えられた複数の行列について、それぞれの行列式を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 3x3行列の行列式を計算する。

(2) 3x3行列の行列式を計算する。

(3) 3x3行列の行列式を計算する。

(4) 4x4行列の行列式を計算する。

(5) 4x4行列の行列式を計算する。

(6) 3x3行列の行列式を計算する。

(7) 3x3行列の行列式を計算する。

(8) 5x5行列の行列式を計算する。

(9) 5x5行列の行列式を計算する。

(10) nxn行列の行列式を計算する。

(11) 5x5行列の行列式を計算する。

(1)

$det = 0*(-5*1 - 7*2) - 4*(0*1 - 7*3) + 0*(0*2 - (-5)*3) = 0 - 4*(-21) + 0 = 84$

(2)

$det = 2*(13*6 - (-1)*(-9)) - 3*(8*6 - (-1)*6) + 5*(8*(-9) - 13*6) = 2*(78 - 9) - 3*(48 + 6) + 5*(-72 - 78) = 2*69 - 3*54 + 5*(-150) = 138 - 162 - 750 = -774$

(3)

$det = 12*(13*(-20) - 4*10) - 16*((-6)*(-20) - 4*15) + 32*((-6)*10 - 13*15) = 12*(-260 - 40) - 16*(120 - 60) + 32*(-60 - 195) = 12*(-300) - 16*60 + 32*(-255) = -3600 - 960 - 8160 = -12720$

(6)

$det = \frac{1}{4} * (\frac{1}{6} * \frac{1}{6} - \frac{1}{4} * 0) - \frac{1}{6} * (\frac{1}{12} * \frac{1}{6} - \frac{1}{4} * \frac{1}{4}) + \frac{2}{3} * (\frac{1}{12} * 0 - \frac{1}{6} * \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} * \frac{1}{36} - \frac{1}{6} * (\frac{1}{72} - \frac{1}{16}) + \frac{2}{3} * (-\frac{1}{24}) = \frac{1}{144} - \frac{1}{6} * (\frac{2-9}{144}) - \frac{2}{72} = \frac{1}{144} - \frac{1}{6} * (-\frac{7}{144}) - \frac{1}{36} = \frac{1}{144} + \frac{7}{864} - \frac{1}{36} = \frac{6 + 7 - 24}{864} = \frac{-11}{864}$

(7)

$det = 99*(99*99 - 100*101) - 100*(100*99 - 100*101) + 101*(100*101 - 99*101) = 99*(9801 - 10100) - 100*(9900 - 10100) + 101*(10100 - 9999) = 99*(-299) - 100*(-200) + 101*(101) = -29601 + 20000 + 10201 = 600$

(8)

行列式は、2行目に沿って展開すると、次のようになります。

$det = (-1)^{2+2} * 2 * det \begin{bmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 13 & -2 & -4 \\ -6 & 1 & 2 \end{bmatrix} + (-1)^{2+5} * 5 * det \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & -2 & 0 \\ 0 & -6 & 1 & 2 \\ 8 & 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} = 2 * (0 - 0 + 3 * (13*1 - (-2)*(-6)) - 5 * 0 = 2 * 3 * (13-12) = 6 * 1 = 6$

(10)

与えられた行列は逆順の順列行列です。nが偶数の場合、行列式は1です。nが奇数の場合、行列式は-1です。言い換えると、行列式は $(-1)^{(n-1)/2}$。よって$(-1)^{n(n-1)/2}$

(11)

$det = -1$

3. 最終的な答え

(1) 84

(2) -774

(3) -12720

(6) -11/864

(7) 600

(8) 6

(10) $(-1)^{n(n-1)/2}$

(11) -1