2つの直線 $y = 5x$ と $y = \frac{2}{3}x$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とします。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = 5x$ と $y = \frac{2}{3}x$ のなす角 $\theta$ を求める問題です。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とします。

2. 解き方の手順

直線の傾きと正接(tan)の関係を利用します。

$y = 5x$ の傾きは $5$ なので、この直線と $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\alpha$ とすると、$\tan \alpha = 5$ です。

同様に、$y = \frac{2}{3}x$ の傾きは $\frac{2}{3}$ なので、この直線と $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\beta$ とすると、$\tan \beta = \frac{2}{3}$ です。

2つの直線のなす角 $\theta$ は $\alpha - \beta$ で表されるので、$\tan \theta = \tan(\alpha - \beta)$ を計算します。

$\tan$ の加法定理より、

$\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}$

$\tan \alpha = 5$ と $\tan \beta = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$\tan \theta = \frac{5 - \frac{2}{3}}{1 + 5 \cdot \frac{2}{3}} = \frac{\frac{15 - 2}{3}}{\frac{3 + 10}{3}} = \frac{\frac{13}{3}}{\frac{13}{3}} = 1$

$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で $\tan \theta = 1$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{4}$