$c > \frac{1}{4}$ を満たす実数 $c$ が与えられている。$xy$ 平面上の放物線 $A: y = x^2$ と、直線 $y = x - c$ に関して $A$ と対称な放物線を $B$ とする。放物線 $A$ 上の点 $p$ と $B$ 上の点 $q$ が自由に動くとき、$pq$ の長さの最小値を $c$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$c > \frac{1}{4}$ を満たす実数 $c$ が与えられている。$xy$ 平面上の放物線 $A: y = x^2$ と、直線 $y = x - c$ に関して $A$ と対称な放物線を $B$ とする。放物線 $A$ 上の点 $p$ と $B$ 上の点 $q$ が自由に動くとき、$pq$ の長さの最小値を $c$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

放物線 $A: y = x^2$ 上の点 $p(t, t^2)$ を考える。直線 $y = x - c$ に関して点 $p$ と対称な点を $q(x, y)$ とする。

$pq$ の中点 $m$ は直線 $y = x - c$ 上にあるので、

$\frac{t^2 + y}{2} = \frac{t + x}{2} - c$

$t^2 + y = t + x - 2c$

また、$pq$ は直線 $y = x - c$ と直交するので、

$\frac{y - t^2}{x - t} = -1$

$y - t^2 = -x + t$

$y = t^2 - x + t$

これを $t^2 + y = t + x - 2c$ に代入すると、

$t^2 + t^2 - x + t = t + x - 2c$

$2t^2 - 2x + 2c = 0$

$x = t^2 + c$

$y = t^2 - (t^2 + c) + t = t - c$

したがって、放物線 $B$ は $q(t^2 + c, t - c)$ と表される。$q$ の座標を $(x, y)$ とすると、

$x = t^2 + c$ より $t^2 = x - c$

$y = t - c$ より $t = y + c$

したがって、

$x - c = (y + c)^2$

$x = (y + c)^2 + c$

よって放物線 $B$ の方程式は $x = (y + c)^2 + c$ である。

$pq$ の長さの最小値を求める。$pq$ の長さは、放物線 $A$ と $B$ の距離の最小値に等しい。

$A$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線の傾きは $y' = 2t$ である。求める最小距離は、$y = x - c$ と平行な $A$ の接線を見つけることで求められる。$y = x - c$ の傾きは $1$ であるから、$2t = 1$ より $t = \frac{1}{2}$ である。

このとき、$A$ 上の点は $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ であり、接線は $y - \frac{1}{4} = 1(x - \frac{1}{2})$ より $y = x - \frac{1}{4}$ である。

したがって、直線 $y = x - c$ と直線 $y = x - \frac{1}{4}$ の距離が最小距離となる。

2つの平行線 $ax + by + c_1 = 0$ と $ax + by + c_2 = 0$ の距離は $\frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ である。

この場合、$x - y - c = 0$ と $x - y - \frac{1}{4} = 0$ の距離は、

$\frac{|-c - (-\frac{1}{4})|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-c + \frac{1}{4}|}{\sqrt{2}} = \frac{|c - \frac{1}{4}|}{\sqrt{2}}$

$c > \frac{1}{4}$ より、$\frac{c - \frac{1}{4}}{\sqrt{2}} = \frac{4c - 1}{4\sqrt{2}} = \frac{(4c - 1)\sqrt{2}}{8}$

最小距離は、2倍する必要がある。

よって $2 \cdot \frac{c - \frac{1}{4}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}(c - \frac{1}{4}) = \frac{\sqrt{2}(4c - 1)}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{4}(4c - 1)$