点$(-2, 1)$を通り、直線$-3x - 5y + 2 = 0$に垂直な直線の式を求める。

1. 問題の内容

点$(-2, 1)$を通り、直線$-3x - 5y + 2 = 0$に垂直な直線の式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた直線の傾きを求める。直線の方程式を$y$について解き、$y = mx + b$の形に変形すると、$m$が傾きとなる。

$-3x - 5y + 2 = 0$を$y$について解くと、

$5y = -3x + 2$

$y = -\frac{3}{5}x + \frac{2}{5}$

したがって、与えられた直線の傾きは$-\frac{3}{5}$である。

次に、求める直線は与えられた直線に垂直であるから、求める直線の傾きは、与えられた直線の傾きの逆数の符号を反転させたものとなる。

つまり、求める直線の傾きを$m'$とすると、

$m' = - \frac{1}{-\frac{3}{5}} = \frac{5}{3}$

したがって、求める直線の方程式は、$y = \frac{5}{3}x + b$の形になる。

この直線が点$(-2, 1)$を通るので、この座標を代入して$b$を求める。

$1 = \frac{5}{3}(-2) + b$

$1 = -\frac{10}{3} + b$

$b = 1 + \frac{10}{3} = \frac{3}{3} + \frac{10}{3} = \frac{13}{3}$

したがって、求める直線の方程式は、$y = \frac{5}{3}x + \frac{13}{3}$となる。

両辺に3をかけて整理すると、$3y = 5x + 13$

これを変形して$5x - 3y + 13 = 0$となる。

3. 最終的な答え

$5x - 3y + 13 = 0$