多項式$P(x)$を$x-2$で割ったときの余りが8、$x+3$で割ったときの余りが-7であるとき、$P(x)$を$(x-2)(x+3)$で割ったときの余りを求める問題です。

1. 問題の内容

多項式$P(x)$を$x-2$で割ったときの余りが8、$x+3$で割ったときの余りが-7であるとき、$P(x)$を$(x-2)(x+3)$で割ったときの余りを求める問題です。

2. 解き方の手順

余りの定理より、$P(2) = 8$、$P(-3) = -7$が成り立ちます。

$P(x)$を$(x-2)(x+3)$で割ったときの余りは、1次以下の多項式であるため、$ax+b$とおくことができます。

このとき、$P(x)$は

$$P(x) = (x-2)(x+3)Q(x) + ax + b$$

と表すことができます。ここで、$Q(x)$は商です。

$x=2$を代入すると、

$$P(2) = (2-2)(2+3)Q(2) + 2a + b = 2a + b = 8$$

$x=-3$を代入すると、

$$P(-3) = (-3-2)(-3+3)Q(-3) - 3a + b = -3a + b = -7$$

この2つの式から$a$と$b$を求めます。

連立方程式

$$$$

\begin{cases}

2a + b = 8 \\

-3a + b = -7

\end{cases}

$$$$

を解きます。上の式から下の式を引くと、

$$5a = 15$$

よって、$a = 3$

これを$2a + b = 8$に代入すると、$2(3) + b = 8$より$b = 2$

したがって、求める余りは$3x+2$となります。

3. 最終的な答え

$3x+2$