与えられた方程式 $(x-3)(2y-1) = 15$ を解く問題です。ただし、この問題だけでは $x$ と $y$ の値を一意に定めることはできません。整数解を求めるのか、それとも変数の関係式を求めるのかによって答えが変わります。ここでは、整数解を求める場合と、$y$を$x$の関数として表す場合についてそれぞれ説明します。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $(x-3)(2y-1) = 15$ を解く問題です。ただし、この問題だけでは $x$ と $y$ の値を一意に定めることはできません。整数解を求めるのか、それとも変数の関係式を求めるのかによって答えが変わります。ここでは、整数解を求める場合と、$y$を$x$の関数として表す場合についてそれぞれ説明します。

2. 解き方の手順

(a) 整数解を求める場合

$x$と$y$が整数の場合、$(x-3)$と$(2y-1)$はともに15の約数である必要があります。15の約数は$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$です。$(2y-1)$は奇数なので、$(2y-1)$の候補は$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$となります。それぞれの候補について、$x$と$y$を求めます。

* $2y-1 = 1$ のとき、$y = 1$、$x-3 = 15$ より $x = 18$

* $2y-1 = -1$ のとき、$y = 0$、$x-3 = -15$ より $x = -12$

* $2y-1 = 3$ のとき、$y = 2$、$x-3 = 5$ より $x = 8$

* $2y-1 = -3$ のとき、$y = -1$、$x-3 = -5$ より $x = -2$

* $2y-1 = 5$ のとき、$y = 3$、$x-3 = 3$ より $x = 6$

* $2y-1 = -5$ のとき、$y = -2$、$x-3 = -3$ より $x = 0$

* $2y-1 = 15$ のとき、$y = 8$、$x-3 = 1$ より $x = 4$

* $2y-1 = -15$ のとき、$y = -7$、$x-3 = -1$ より $x = 2$

(b) $y$を$x$の関数として表す場合

$(x-3)(2y-1) = 15$ を $y$ について解きます。

$2y - 1 = \frac{15}{x-3}$

$2y = \frac{15}{x-3} + 1$

$y = \frac{1}{2} \left( \frac{15}{x-3} + 1 \right)$

$y = \frac{15 + (x-3)}{2(x-3)}$

$y = \frac{x + 12}{2(x-3)}$

3. 最終的な答え

(a) 整数解を求める場合

$(x, y) = (18, 1), (-12, 0), (8, 2), (-2, -1), (6, 3), (0, -2), (4, 8), (2, -7)$

(b) $y$を$x$の関数として表す場合

$y = \frac{x + 12}{2(x-3)}$