与えられた3つの式を展開する問題です。 (1) $(2x+3y)^3 + (2x-3y)^3$ (2) $(a^2+3a+9)(a^2-3a+9)$ (3) $(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を展開する問題です。

(1) $(2x+3y)^3 + (2x-3y)^3$

(2) $(a^2+3a+9)(a^2-3a+9)$

(3) $(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)$

2. 解き方の手順

(1) $(2x+3y)^3 + (2x-3y)^3$ の展開：

$A = 2x$、 $B = 3y$ とおくと、

$(A+B)^3 + (A-B)^3$

$= (A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3) + (A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3)$

$= 2A^3 + 6AB^2$

$= 2(2x)^3 + 6(2x)(3y)^2$

$= 2(8x^3) + 6(2x)(9y^2)$

$= 16x^3 + 108xy^2$

(2) $(a^2+3a+9)(a^2-3a+9)$ の展開：

$A = a^2+9$、 $B = 3a$ とおくと、

$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$

$= (a^2+9)^2 - (3a)^2$

$= (a^4 + 18a^2 + 81) - 9a^2$

$= a^4 + 9a^2 + 81$

(3) $(x-4)(x-2)(x+1)(x+3)$ の展開：

$(x-4)(x+3)(x-2)(x+1)$

$= (x^2 - x - 12)(x^2 - x - 2)$

$A = x^2-x$ とおくと、

$(A-12)(A-2) = A^2 - 14A + 24$

$= (x^2-x)^2 - 14(x^2-x) + 24$

$= (x^4 - 2x^3 + x^2) - 14x^2 + 14x + 24$

$= x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24$

3. 最終的な答え

(1) $16x^3 + 108xy^2$

(2) $a^4 + 9a^2 + 81$

(3) $x^4 - 2x^3 - 13x^2 + 14x + 24$