この問題は、2つの円の方程式を求める問題です。 (1) 原点O(0,0)と点A(4,2)を直径の両端とする円の方程式を求めます。 (2) 原点O(0,0)、点A(4,2)、点B(-3,1)の3点を通る円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

この問題は、2つの円の方程式を求める問題です。

(1) 原点O(0,0)と点A(4,2)を直径の両端とする円の方程式を求めます。

(2) 原点O(0,0)、点A(4,2)、点B(-3,1)の3点を通る円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 原点O(0,0)と点A(4,2)を直径の両端とする円の方程式を求める場合：

円の中心は、線分OAの中点であり、その座標は$((0+4)/2, (0+2)/2) = (2, 1)$となります。

円の半径は、中心(2,1)から点A(4,2)までの距離に等しく、$\sqrt{(4-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$となります。

したがって、円の方程式は、

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5})^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 5$

$x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0$

となります。

(2) 原点O(0,0)、点A(4,2)、点B(-3,1)の3点を通る円の方程式を求める場合：

円の方程式を一般形$x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$とおきます。

O(0,0)を通るので、$n=0$。

A(4,2)を通るので、$4^2 + 2^2 + 4l + 2m = 0$より、$16 + 4 + 4l + 2m = 0$。したがって、$4l + 2m = -20$となり、$2l + m = -10$となります。

B(-3,1)を通るので、 $(-3)^2 + 1^2 - 3l + m = 0$より、$9 + 1 - 3l + m = 0$。したがって、$-3l + m = -10$となります。

$2l + m = -10$と$-3l + m = -10$の連立方程式を解きます。

$2l + m = -10$から$-3l + m = -10$を引くと、$5l = 0$となるので、$l=0$。

$l=0$を$2l + m = -10$に代入すると、$m = -10$となります。

したがって、求める円の方程式は、$x^2 + y^2 - 10y = 0$となります。

3. 最終的な答え

(1) 原点O(0,0)と点A(4,2)を直径の両端とする円の方程式は、$x^2 + y^2 - 4x - 2y = 0$

(2) 原点O(0,0)、点A(4,2)、点B(-3,1)の3点を通る円の方程式は、$x^2 + y^2 - 10y = 0$