湖面から55m高い丘の上の地点Aから花火Bを見上げたときの仰角は15°、湖面に映る花火Cを見下ろしたときの俯角は45°である。湖面で反射する光の入射角と反射角が等しいものとして、以下の問いに答える。 (1) 花火Bの高さ、地点Aから花火の打ち上げ場所までの水平距離を求める。 (2) 花火の打ち上げ場所から水平距離で200m離れた、湖面から60m高いビルの屋上Dから花火Bを見上げたときの仰角に最も近い角度を求める。

1. 問題の内容

湖面から55m高い丘の上の地点Aから花火Bを見上げたときの仰角は15°、湖面に映る花火Cを見下ろしたときの俯角は45°である。湖面で反射する光の入射角と反射角が等しいものとして、以下の問いに答える。

(1) 花火Bの高さ、地点Aから花火の打ち上げ場所までの水平距離を求める。

(2) 花火の打ち上げ場所から水平距離で200m離れた、湖面から60m高いビルの屋上Dから花火Bを見上げたときの仰角に最も近い角度を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、湖面から地点Aまでの高さを$h_A=55$ mとする。

地点Aから湖面までの距離と、地点Aから湖に映る花火Cまでの距離は等しい。

地点Aから湖面を見下ろす角度が45度なので、地点Aから打ち上げ場所までの水平距離を$x$とすると、湖面から打ち上げ場所までの距離は$x$である。

地点Bの湖面からの高さを$h_B$とすると、

$h_B=h_A+x \tan{15^\circ}$

$x=h_A=55$ mであるから、

$h_B=55+55\tan{15^\circ}$

$\tan{15^\circ}=\tan(45^\circ-30^\circ)=\frac{\tan45^\circ-\tan30^\circ}{1+\tan45^\circ\tan30^\circ} = \frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=2-\sqrt{3}$

$h_B = 55+55(2-\sqrt{3}) = 55+110-55\sqrt{3}=165-55\sqrt{3}=55(3-\sqrt{3})$

したがって、花火Bの高さは湖面から $55(3-\sqrt{3})$mである。

地点Aから打ち上げ場所までの水平距離は$x = 55$ mなので、$x = 55 \sqrt{1} = 55(\sqrt{1})$ mである。

$55 = エオ \sqrt{カ} + キ$

$x=55$から

$x=AO=55 m$となる。

したがって、花火Bの高さは湖面から$55(3-\sqrt{3})$ mである。

花火の打ち上げは地点Aから水平距離で$55$ mの位置で行われたと考えられる。

(2)

花火の打ち上げ地点から水平距離で200m離れたビルの屋上Dから花火Bを見上げたときの仰角を$\theta$とする。

ビルの高さは60m。

打ち上げ地点からビル屋上Dまでの水平距離は200m。

花火Bの高さは$h_B = 55(3-\sqrt{3}) = 165 - 55\sqrt{3} \approx 165 - 55 \times 1.732 \approx 165 - 95.26 \approx 69.74$ m

ビル屋上Dの高さは60m。

花火Bとビル屋上Dの高さの差は$69.74 - 60 = 9.74$ m

$\tan\theta = \frac{9.74}{200} \approx 0.0487$

$\theta \approx \arctan(0.0487) \approx 2.79^\circ$

tan 4° = 0.0699

tan 6° = 0.1051

tan 8° = 0.1405

tan 10° = 0.1763

tan 12° = 0.2126

$\theta = 4^\circ$に近い。

$\theta \approx 3^\circ$

3. 最終的な答え

(1) 花火Bの高さは湖面から 55(3 - √3) mである。花火の打ち上げは地点Aから水平距離で 55 mの位置で行われたと考えられる。

(2) 0