$0 \le \theta < 2\pi$ とし、$p \ge 0$ とします。座標平面上の点AとBの座標がそれぞれ $A(\sin\theta + p\cos\theta, p\sin\theta - \cos\theta)$、$B(p\sin\theta + \cos\theta, \sin\theta - p\cos\theta)$ で与えられ、三角形OABの面積をSとします。 (1) $p=0$ のとき、点A, Bの座標を求め、線分OA, OBの長さと$\angle AOB$を求めます。 (2) $p=\frac{4}{3}$ のとき、三角関数の加法定理を用いて点A, Bの座標を表し、$\angle AOB$を求め、三角形OABの面積Sを求めます。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ とし、$p \ge 0$ とします。座標平面上の点AとBの座標がそれぞれ $A(\sin\theta + p\cos\theta, p\sin\theta - \cos\theta)$、$B(p\sin\theta + \cos\theta, \sin\theta - p\cos\theta)$ で与えられ、三角形OABの面積をSとします。

(1) $p=0$ のとき、点A, Bの座標を求め、線分OA, OBの長さと$\angle AOB$を求めます。

(2) $p=\frac{4}{3}$ のとき、三角関数の加法定理を用いて点A, Bの座標を表し、$\angle AOB$を求め、三角形OABの面積Sを求めます。

2. 解き方の手順

(1) $p=0$ のとき、点A, Bの座標は $A(\sin\theta, -\cos\theta)$, $B(\cos\theta, \sin\theta)$ となります。

$OA = \sqrt{(\sin\theta)^2 + (-\cos\theta)^2} = \sqrt{\sin^2\theta + \cos^2\theta} = 1$

$OB = \sqrt{(\cos\theta)^2 + (\sin\theta)^2} = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1$

よって、線分OA, OBの長さはともに1です。

$\sin(\theta - \frac{\pi}{2}) = \sin\theta \cos\frac{\pi}{2} - \cos\theta \sin\frac{\pi}{2} = -\cos\theta$

$\cos(\theta - \frac{\pi}{2}) = \cos\theta \cos\frac{\pi}{2} + \sin\theta \sin\frac{\pi}{2} = \sin\theta$

$\angle AOB = |\theta - (\theta - \frac{\pi}{2})| = \frac{\pi}{2}$ となります。

三角形OABの面積は $S = \frac{1}{2}OA \cdot OB \cdot \sin\angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$ となります。

(2) $p = \frac{4}{3}$ のとき、三角関数の加法定理 $\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta \cos\alpha + \cos\theta \sin\alpha$, $\cos(\theta + \alpha) = \cos\theta \cos\alpha - \sin\theta \sin\alpha$ を用いると、

$\sin\theta + \frac{4}{3}\cos\theta = \frac{5}{3}(\frac{3}{5}\sin\theta + \frac{4}{5}\cos\theta) = \frac{5}{3}\sin(\theta + \alpha)$

$\frac{4}{3}\sin\theta - \cos\theta = \frac{5}{3}(\frac{4}{5}\sin\theta - \frac{3}{5}\cos\theta) = -\frac{5}{3}\cos(\theta + \alpha)$

ただし、$\sin\alpha = \frac{4}{5}$, $\cos\alpha = \frac{3}{5}$, $0 \le \alpha < 2\pi$を満たす実数です。

よって、$A(\frac{5}{3}\sin(\theta + \alpha), -\frac{5}{3}\cos(\theta + \alpha))$ と表せます。

同様に、$B(\frac{5}{3}\cos(\theta + \beta), \frac{5}{3}\sin(\theta + \beta))$ と表せます。ただし、$\sin\beta = \frac{4}{5}$, $\cos\beta = \frac{3}{5}$, $0 \le \beta < 2\pi$を満たす実数です。

$\tan\alpha = \frac{4}{3}, \tan\beta = \frac{4}{3}$ より、 $\tan\alpha - \tan\beta = 0$ であるから、 $\alpha = \beta$。

$\angle AOB = |(\theta + \alpha) - (\theta + \beta)| = |\alpha - \beta| = 0$ となる。

$\alpha = \beta$ より、$A(\frac{5}{3}\sin(\theta+\alpha), -\frac{5}{3}\cos(\theta+\alpha))$、$B(\frac{5}{3}\cos(\theta+\alpha), \frac{5}{3}\sin(\theta+\alpha))$

$\angle AOB = |\theta + \alpha - (\theta + \alpha)| = 0$ となり、これは点A, O, Bが一直線上にあることを意味するため、三角形OABの面積は0となります。

ア：1

イ：$\frac{\pi}{2}$

ウ：0

エ：2

オ：5

カ：3

ク：5

ケ：3

コ：4

サ：5

ス：0

セ：0

ソ：0

タチ：0

ツ：0

テト：0

3. 最終的な答え

ア：1

イ：$\frac{\pi}{2}$

ウ：0

エ：2

オ：5

カ：3

ク：5

ケ：3

コ：4

サ：5

ス：0

セ：0

ソ：0

タチ：0

ツ：0

テト：0