丘の上の地点Aから花火Bを見上げた時の仰角と、湖面に映る花火Cを見下ろした時の俯角が与えられている。光の反射角と入射角が等しいという条件のもとで、花火Bの高さと花火の打ち上げ位置を求める。さらに、花火の打ち上げ地点から水平距離200m離れたビルの屋上Dから花火Bを見上げた時の仰角を求める。

1. 問題の内容

丘の上の地点Aから花火Bを見上げた時の仰角と、湖面に映る花火Cを見下ろした時の俯角が与えられている。光の反射角と入射角が等しいという条件のもとで、花火Bの高さと花火の打ち上げ位置を求める。さらに、花火の打ち上げ地点から水平距離200m離れたビルの屋上Dから花火Bを見上げた時の仰角を求める。

2. 解き方の手順

(1) 花火Bの高さについて:

地点Aの高さは湖面から55mである。

地点Aから花火Cを見たときの俯角が45°なので、地点Aから湖面までの距離と、湖面に映る花火Cから湖面までの距離は等しい。

したがって、花火Cから湖面までの距離は55m。

花火は真上に打ち上げられているので、花火Bから湖面までの距離も55mとなる。

地点Aから花火Bを見上げた仰角は15°である。

花火の打ち上げ地点から地点Aまでの水平距離を $x$ とすると、

$\tan{15^\circ} = \frac{\text{花火Bの高さ} - \text{地点Aの高さ}}{x}$

花火Bの高さは湖面から $y$ とすると、

$y = 55 + x \tan{15^\circ}$

花火Cは湖面に映った花火なので、$55 = \frac{y}{2}$ となるので、$y = 110$

$110 = 55 + x \tan{15^\circ}$

$55 = x \tan{15^\circ}$

$x = \frac{55}{\tan{15^\circ}}$

$\tan{15^\circ} = 2 - \sqrt{3}$なので、

$x = \frac{55}{2-\sqrt{3}} = \frac{55(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{55(2+\sqrt{3})}{4-3} = 55(2+\sqrt{3}) = 110 + 55\sqrt{3}$

花火Bの高さは $110$ mである。

打ち上げ場所からAまでの水平距離は $55(2+\sqrt{3})$ m。$55(2+\sqrt{3}) = 110 + 55\sqrt{3}$.

(2) ビルの屋上から花火Bを見上げた仰角について:

花火の打ち上げ地点から水平距離で200m離れたビルの屋上Dから花火Bを見上げる。

ビルの屋上Dの高さは湖面から60m。

花火Bの高さは湖面から110m。

したがって、高さの差は $110 - 60 = 50$ m。

水平距離は200m。

仰角を $\theta$ とすると、

$\tan{\theta} = \frac{50}{200} = \frac{1}{4} = 0.25$

p.159の三角比の表を参照すると、$\tan{14^\circ} \approx 0.2493$ なので、仰角は約$14^\circ$になる。

選択肢の中に$14^\circ$はないので、最も近いのは12°（選択肢④）

$\tan{12^\circ} \approx 0.2126$

$\tan{14^\circ} \approx 0.2493$

$\tan{15^\circ} \approx 0.2679$

1/4 = 0.25なので、14度が一番近い。

問題文に最も近い角度を選ぶと書いてある。

従って、選択肢にはない。

3. 最終的な答え

(1) 花火Bの高さは湖面から 110 mであり、花火の打ち上げは地点Aから水平距離で $55(2+\sqrt{3})$m の位置で行われたと考えられる。

(2) 4