(1) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = -x + 1$ の共有点の座標を求める。 (2) 直線 $2x - y - 5 = 0$ が円 $x^2 + y^2 = 25$ によって切り取られてできる線分の長さを求める。 (3) 円 $x^2 + y^2 + 2y = 0$ と直線 $y = ax - 3$ の共有点の個数を、$a$ の値によって場合分けして求める。

1. 問題の内容

(1) 円 $x^2 + y^2 = 5$ と直線 $y = -x + 1$ の共有点の座標を求める。

(2) 直線 $2x - y - 5 = 0$ が円 $x^2 + y^2 = 25$ によって切り取られてできる線分の長さを求める。

(3) 円 $x^2 + y^2 + 2y = 0$ と直線 $y = ax - 3$ の共有点の個数を、$a$ の値によって場合分けして求める。

2. 解き方の手順

(1)

円と直線の式を連立させて解く。

$x^2 + (-x + 1)^2 = 5$

$x^2 + x^2 - 2x + 1 = 5$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

$x = 2, -1$

$x = 2$ のとき $y = -2 + 1 = -1$

$x = -1$ のとき $y = -(-1) + 1 = 2$

したがって、共有点の座標は $(2, -1)$ と $(-1, 2)$ である。

(2)

円の中心 $(0, 0)$ と直線 $2x - y - 5 = 0$ の距離 $d$ を求める。

$d = \frac{|2(0) - (0) - 5|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

円の半径は $r = 5$。

切り取られる線分の長さを $l$ とすると、

$(\frac{l}{2})^2 + d^2 = r^2$

$(\frac{l}{2})^2 + (\sqrt{5})^2 = 5^2$

$(\frac{l}{2})^2 = 25 - 5 = 20$

$\frac{l}{2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$l = 4\sqrt{5}$

(3)

円の式を平方完成すると、

$x^2 + (y + 1)^2 = 1$

円の中心は $(0, -1)$、半径は $1$ である。

円の中心と直線の距離 $d$ を求める。

$d = \frac{|a(0) - (-1) - 3|}{\sqrt{a^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}}$

共有点の個数は、$d < 1$ のとき 2個、$d = 1$ のとき 1個、$d > 1$ のとき 0個となる。

$d < 1$ のとき

$\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}} < 1$

$2 < \sqrt{a^2 + 1}$

$4 < a^2 + 1$

$a^2 > 3$

$a < -\sqrt{3}, a > \sqrt{3}$

$d = 1$ のとき

$\frac{2}{\sqrt{a^2 + 1}} = 1$

$2 = \sqrt{a^2 + 1}$

$4 = a^2 + 1$

$a^2 = 3$

$a = \pm \sqrt{3}$

$d > 1$ のとき

$-\sqrt{3} < a < \sqrt{3}$

したがって、

$a < -\sqrt{3}$ のとき 2個

$a = -\sqrt{3}$ のとき 1個

$-\sqrt{3} < a < \sqrt{3}$ のとき 0個

$a = \sqrt{3}$ のとき 1個

$a > \sqrt{3}$ のとき 2個

3. 最終的な答え

(1) $(2, -1), (-1, 2)$

(2) $4\sqrt{5}$

(3)

$a < -\sqrt{3}$ のとき 2個

$a = -\sqrt{3}$ のとき 1個

$-\sqrt{3} < a < \sqrt{3}$ のとき 0個

$a = \sqrt{3}$ のとき 1個

$a > \sqrt{3}$ のとき 2個