点P(2, 1)を通り、円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する直線の方程式を求める。

1. 問題の内容

点P(2, 1)を通り、円 $x^2 + y^2 = 1$ に接する直線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

点P(2, 1)を通る直線の式を $y = m(x - 2) + 1$ とおく。これは $mx - y - 2m + 1 = 0$ と変形できる。

この直線が円 $x^2 + y^2 = 1$ に接するということは、円の中心(0, 0)と直線との距離が円の半径1に等しいということである。点と直線の距離の公式を用いると、

$\frac{|m(0) - (0) - 2m + 1|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 1$

$|-2m + 1| = \sqrt{m^2 + 1}$

両辺を2乗すると、

$(-2m + 1)^2 = m^2 + 1$

$4m^2 - 4m + 1 = m^2 + 1$

$3m^2 - 4m = 0$

$m(3m - 4) = 0$

したがって、$m = 0$ または $m = \frac{4}{3}$。

$m = 0$ のとき、直線の方程式は $y = 0(x - 2) + 1$ より $y = 1$。

$m = \frac{4}{3}$ のとき、直線の方程式は $y = \frac{4}{3}(x - 2) + 1$ より $y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3} + 1$。変形して $y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$。両辺に3をかけて $3y = 4x - 5$、つまり $4x - 3y - 5 = 0$。

また、x=2, y=1のときに円に接する直線が存在する場合を考える。

直線 $x=2$ は点P(2,1)を通るが、円 $x^2+y^2=1$ に接することはない。なぜなら、x=2とすると、$2^2+y^2=1$ より、$y^2=-3$ となり、実数解を持たないから。

3. 最終的な答え

$y = 1$

$4x - 3y - 5 = 0$