与えられた図形に関する問題です。 (1) 図1では、M, N がそれぞれ AB, AC の中点で、MB = BP, BC = 8 cm のとき、MN の長さと CQ の長さを求めます。 (2) 図2では、AM = MB で、D, E は BC を3等分する点で、MD = 4 cm のとき、AE の長さと AF の長さを求めます。 (3) 図3では、AD // BC, AD = 5 cm, BC = 11 cm で、E, F は AB, CD の中点のとき、GH の長さを求めます。 (4) 図4では、D, E, F は BC, CA, AB の中点で、三角形 ABC の周の長さが 28 cm のとき、三角形 DEF の周の長さを求めます。

1. 問題の内容

与えられた図形に関する問題です。

(1) 図1では、M, N がそれぞれ AB, AC の中点で、MB = BP, BC = 8 cm のとき、MN の長さと CQ の長さを求めます。

(2) 図2では、AM = MB で、D, E は BC を3等分する点で、MD = 4 cm のとき、AE の長さと AF の長さを求めます。

(3) 図3では、AD // BC, AD = 5 cm, BC = 11 cm で、E, F は AB, CD の中点のとき、GH の長さを求めます。

(4) 図4では、D, E, F は BC, CA, AB の中点で、三角形 ABC の周の長さが 28 cm のとき、三角形 DEF の周の長さを求めます。

2. 解き方の手順

(1)

① MN の長さ: M, N はそれぞれ AB, AC の中点なので、中点連結定理より、MN は BC の半分の長さになります。

$MN = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 8 = 4$

② CQ の長さ: MB = BP より、点 B は MP の中点です。点 N は AC の中点です。メネラウスの定理より、

$\frac{MA}{MB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{1} \cdot \frac{MB}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$MB = BP$ なので、$MP=2MB$。

$\frac{MA}{MB} = 1$

$MB = \frac{1}{2}MP = BP$

$\frac{MB}{PC}=1$

$\frac{CQ}{QA}=1$

$CQ = QA$ なので、$CQ = \frac{1}{2}CA$

$AN = NC$

$CA = 2AN$

$MN = \frac{1}{2}BC$

三角形 MBC において、メネラウスの定理より、

$\frac{MA}{AB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CN}{NA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot 1 = 1$

$\frac{BP}{PC} = 2$

$BP=2PC$

$BP=MB$ より、

$MB=2PC$

$BC=8$

$MB+PC=8$

$2PC+PC=8$

$3PC=8$

$PC= \frac{8}{3}$

$BP=\frac{16}{3}$

$PC=\frac{8}{3}$

$MP=2MB=\frac{32}{3}$

$\frac{MC}{CA}=\frac{MB}{BA}$

メネラウスの定理は使わずに解く。

$BC=8$

$BP = MB$

$AM=MB$

$AN = NC$

$MN = \frac{1}{2} BC = 4$

$MP = \frac{PC}{CQ}$

$\frac{MB}{AB} \frac{BC}{CP} \frac{PQ}{QM}=1$

(2)

① AE の長さ:

D, E は BC を3等分するので、$BD=DE=EC$ です。AM=MB なので、点 M は AB の中点です。したがって、中点連結定理より MD は三角形 ABE の EB に平行で EB の半分の長さになります。 よって、$MD = \frac{1}{2} AE$, $AE = 2MD$

$AE = 2 \times 4 = 8$

② AF の長さ:

$AF = 2AD$

(3)

AD // BC で、E, F はそれぞれ AB, CD の中点なので、中点連結定理より、EF は AD と BC の中点連結線になります。

$EF = \frac{AD+BC}{2} = \frac{5+11}{2} = 8$

GH= EF - (EG+HF)

(4)

D, E, F はそれぞれ BC, CA, AB の中点なので、中点連結定理より、三角形 DEF の各辺の長さは、三角形 ABC の対応する辺の半分の長さになります。したがって、三角形 DEF の周の長さは、三角形 ABC の周の長さの半分になります。

$\triangle DEF = \frac{1}{2}\triangle ABC$

周の長さ= $28 \times \frac{1}{2} = 14$

3. 最終的な答え

(1)

① MN の長さ: 4 cm

② CQ の長さ: 解けませんでした。

(2)

① AE の長さ: 8 cm

② AF の長さ: 解けませんでした。

(3) GH の長さ: 解けませんでした。

(4) 三角形 DEF の周の長さ: 14 cm