次の2つの三角形の内接円の半径 $r$ を求めます。 (1) 3辺の長さが8, 15, 17である直角三角形。 (2) $a=5$, $b=3$, $C=120^\circ$である三角形ABC。

1. 問題の内容

次の2つの三角形の内接円の半径 $r$ を求めます。

(1) 3辺の長さが8, 15, 17である直角三角形。

(2) $a=5$, $b=3$, $C=120^\circ$である三角形ABC。

2. 解き方の手順

(1) 3辺の長さが8, 15, 17である直角三角形について

まず、三角形が直角三角形であることを確認します。$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$なので、これは直角三角形です。

直角三角形の内接円の半径$r$は、$r = \frac{a+b-c}{2}$で求められます。ただし、$a, b$は直角を挟む辺、$c$は斜辺です。

この問題では、$a=8$, $b=15$, $c=17$なので、内接円の半径$r$は、

$r = \frac{8+15-17}{2} = \frac{6}{2} = 3$

(2) $a=5$, $b=3$, $C=120^\circ$である三角形ABCについて

まず、余弦定理を用いて$c$を求めます。

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{C}$

$c^2 = 5^2 + 3^2 - 2(5)(3)\cos{120^\circ}$

$c^2 = 25 + 9 - 30(-\frac{1}{2})$

$c^2 = 34 + 15 = 49$

$c = 7$

次に、ヘロンの公式を用いて三角形の面積$S$を求めます。

$s = \frac{a+b+c}{2}$とすると、$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$です。

$s = \frac{5+3+7}{2} = \frac{15}{2}$

$S = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-7)}$

$S = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{5}{2})(\frac{9}{2})(\frac{1}{2})} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

内接円の半径$r$は、$S = rs$から求められます。

$r = \frac{S}{s} = \frac{\frac{15\sqrt{3}}{4}}{\frac{15}{2}} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{15} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $r = 3$

(2) $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$