与えられた多項式 $x^4 + 2x^2 + 9$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^4 + 2x^2 + 9$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた多項式を平方の差の形に変形することを試みます。

まず、$x^4 + 2x^2 + 9$ を $x^4 + 6x^2 + 9 - 4x^2$ と書き換えます。

これは、

$x^4 + 6x^2 + 9 = (x^2 + 3)^2$

であり、

$4x^2 = (2x)^2$

であることから、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ の形にできると期待できるからです。

したがって、

$x^4 + 2x^2 + 9 = x^4 + 6x^2 + 9 - 4x^2 = (x^2 + 3)^2 - (2x)^2$

となります。

ここで、平方の差の公式 $A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$ を適用すると、

$(x^2 + 3)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 3 + 2x)(x^2 + 3 - 2x) = (x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3)$

となります。

それぞれの二次式がさらに因数分解できるか確認します。$x^2+2x+3$ の判別式は $2^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8 < 0$ であり、$x^2-2x+3$ の判別式は $(-2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8 < 0$ であるため、実数の範囲ではこれ以上因数分解できません。

3. 最終的な答え

$(x^2 + 2x + 3)(x^2 - 2x + 3)$