$0 \leqq \theta \leqq \pi$ のとき、不等式 $\cos 2\theta + \sin 2\theta + 1 > 0$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ のとき、不等式 $\cos 2\theta + \sin 2\theta + 1 > 0$ を解く。

2. 解き方の手順

まず、$\cos 2\theta$ を $\sin$ で表すために、$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ の公式を用いる。

すると、不等式は次のようになる。

$1 - 2\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + 1 > 0$

これを整理すると、

$-2\sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + 2 > 0$

両辺を $-2$ で割ると、不等号の向きが変わる。

$\sin^2 \theta - \sin \theta \cos \theta - 1 < 0$

ここで、$2\theta$ の式に戻すために、加法定理を利用する。

$\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 1 - 2\sin^2 \theta$

$\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta$

これらを使って、元の不等式を整理する。

$\cos 2\theta + \sin 2\theta + 1 > 0$

三角関数の合成を行う。$r \cos(\theta - \alpha)$ の形に変形する。

$r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、$\alpha = \frac{\pi}{4}$

したがって、不等式は次のようになる。

$\sqrt{2} \sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) + 1 > 0$

$\sin(2\theta + \frac{\pi}{4}) > -\frac{1}{\sqrt{2}}$

条件より、$0 \leqq \theta \leqq \pi$ なので、$0 \leqq 2\theta \leqq 2\pi$

$\frac{\pi}{4} \leqq 2\theta + \frac{\pi}{4} \leqq 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$

$\sin x > -\frac{1}{\sqrt{2}}$ を満たす $x$ の範囲を求める。ただし、$\frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{9\pi}{4}$

$\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ となるのは、$x = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ のとき。

$\frac{\pi}{4} \leqq x < \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4} < x \leqq \frac{9\pi}{4}$

$2\theta + \frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4}$ より、 $2\theta < \pi$ なので、$\theta < \frac{\pi}{2}$

$2\theta + \frac{\pi}{4} > \frac{7\pi}{4}$ より、 $2\theta > \frac{6\pi}{4}$ なので、$\theta > \frac{3\pi}{4}$

$\theta$ の範囲は、$0 \leqq \theta \leqq \pi$ なので、

$0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4} < \theta \leqq \pi$

3. 最終的な答え

$0 \leqq \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4} < \theta \leqq \pi$