与えられた積分を計算します。 積分は $\int e^{-x^2} dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

積分は $\int e^{-x^2} dx$ です。

2. 解き方の手順

この積分は、初等関数では表せないことが知られています。この積分はガウス積分に関連しており、特殊関数である誤差関数を用いて表すことができます。

誤差関数は次のように定義されます。

$erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt$

与えられた積分 $\int e^{-x^2} dx$ を誤差関数を用いて表すために、まず不定積分を考えます。

$\int e^{-x^2} dx = \int_{-\infty}^{x} e^{-t^2} dt + C$ (ここで、$C$ は積分定数です)

ここで、$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ であることを利用します（ガウス積分）。

積分範囲を0からxにすると、

$\int_{0}^{x} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2} erf(x)$

したがって、不定積分は次のように表されます。

$\int e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} erf(x) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{\pi}}{2} erf(x) + C$