(1) $\sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{\pi}{12}$ の値を求める。 (2) $\cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12}$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{\pi}{12}$ の値を求める。

(2) $\cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

積を和に変換する公式を利用する。

$\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos (A-B) - \cos (A+B)]$

この公式に $A = \frac{5\pi}{12}$ と $B = \frac{\pi}{12}$ を代入する。

$\sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} [\cos (\frac{5\pi}{12} - \frac{\pi}{12}) - \cos (\frac{5\pi}{12} + \frac{\pi}{12})]$

$= \frac{1}{2} [\cos (\frac{4\pi}{12}) - \cos (\frac{6\pi}{12})] = \frac{1}{2} [\cos (\frac{\pi}{3}) - \cos (\frac{\pi}{2})]$

$\cos (\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ であり、 $\cos (\frac{\pi}{2}) = 0$ なので

$\sin \frac{5\pi}{12} \sin \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} [\frac{1}{2} - 0] = \frac{1}{4}$

(2)

和を積に変換する公式を利用する。

$\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$

この公式に $A = \frac{\pi}{12}$ と $B = \frac{5\pi}{12}$ を代入する。

$\cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} = -2 \sin \frac{\frac{\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}}{2} \sin \frac{\frac{\pi}{12} - \frac{5\pi}{12}}{2}$

$= -2 \sin \frac{\frac{6\pi}{12}}{2} \sin \frac{\frac{-4\pi}{12}}{2} = -2 \sin \frac{\pi}{4} \sin (-\frac{\pi}{6})$

$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ であり、 $\sin (-\frac{\pi}{6}) = - \sin \frac{\pi}{6} = - \frac{1}{2}$ なので

$\cos \frac{\pi}{12} - \cos \frac{5\pi}{12} = -2 (\frac{\sqrt{2}}{2}) (-\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{2}}{2}$