2次元ベクトル関数 $\vec{G}(x, y) = (xy^2, x^2y)$ を、点(0,0)から(1,1)に至る以下の2つの経路に沿って線積分せよ。 (a) 経路$C_1$: (0,0)から(0,1)まで$y$軸上を進み、次に(0,1)から(1,1)まで$x$軸に平行に進む。 (b) 経路$C_2$: (0,0)から(1,1)まで直線$y=x$上を進む。

1. 問題の内容

2次元ベクトル関数 $\vec{G}(x, y) = (xy^2, x^2y)$ を、点(0,0)から(1,1)に至る以下の2つの経路に沿って線積分せよ。

(a) 経路$C_1$: (0,0)から(0,1)まで$y$軸上を進み、次に(0,1)から(1,1)まで$x$軸に平行に進む。

(b) 経路$C_2$: (0,0)から(1,1)まで直線$y=x$上を進む。

2. 解き方の手順

(a) 経路$C_1$に沿った線積分

経路$C_1$は2つの部分に分かれる。

i) (0,0)から(0,1)まで$y$軸上を進む。このとき、$x=0$なので$dx=0$となる。また、$y$は0から1まで変化する。したがって、

$\int_{C_1(i)} \vec{G} \cdot d\vec{r} = \int_0^1 (0 \cdot y^2 dx + 0^2 \cdot y dy) = \int_0^1 (0 \cdot 0 + 0 \cdot dy) = 0$

ii) (0,1)から(1,1)まで$x$軸に平行に進む。このとき、$y=1$なので$dy=0$となる。また、$x$は0から1まで変化する。したがって、

$\int_{C_1(ii)} \vec{G} \cdot d\vec{r} = \int_0^1 (x \cdot 1^2 dx + x^2 \cdot 1 dy) = \int_0^1 (x dx + x^2 \cdot 0) = \int_0^1 x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$

よって、経路$C_1$に沿った線積分は、

$\int_{C_1} \vec{G} \cdot d\vec{r} = \int_{C_1(i)} \vec{G} \cdot d\vec{r} + \int_{C_1(ii)} \vec{G} \cdot d\vec{r} = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

(b) 経路$C_2$に沿った線積分

経路$C_2$は直線$y=x$上を進む。したがって、$y=x$なので$dy=dx$となる。また、$x$は0から1まで変化する。したがって、

$\int_{C_2} \vec{G} \cdot d\vec{r} = \int_0^1 (x \cdot x^2 dx + x^2 \cdot x dy) = \int_0^1 (x^3 dx + x^3 dx) = \int_0^1 2x^3 dx = 2 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(a) 経路$C_1$に沿った線積分: $\frac{1}{2}$

(b) 経路$C_2$に沿った線積分: $\frac{1}{2}$